Solutions
SOLUTIONS
14
15 Tout intervalle I non vide et non réduit àu ns ingleton
contient un intervalle J borné nonv ide et non réduit àu ns ingleton. J contient une infinité de rationnels, mais seulement un
nombre fini de rationnels de dénominateur inférieuro ué gal à
10
6 . J contient donc une infinité de rationnels de dénominateur
supérieur à10
6 .
L’ensemble des rationnels de dénominateur inférieur à10
6 de l’intervalle [x − 1, x]est fini ;ilpossède donc un plus grand élément
r. Comme x ∈ Q, r < x. De même, l’ensembledes rationnels de
dénominateur inférieur à10
6 de l’intervalle [x, x +1]possède un
plus petit élément r
> x. En choisissant ε < min(x − r, r
− x),
on est sûrque les rationnels de l’intervalle [x − ε, x + ε]o nt tous
des dénominateurs supérieurs ou égaux à10
6 .
16 1)
⎧
⎨
⎩
|2x| = |(x + y)+(x−y)||x+y|+|x−y|
|2y|=|(x+y)−(x−y)||x+y|+|x−y|
Ajouter membre àmembre...
2) Poser x
= x − 1ety
=y−1.
17 Distinguer 4c as suivant la position de x par rapport à
E(x)+
1
2
et celle de y parrapport à E(y)+
1
2
.
18 1) En partant de E(nx) nx , on obtient :
E
E(nx)
n
E(x).
En partant de nE(x) nx, on obtient :
E(x) E
E(nx)
n
.
2) Poser m = E(nx)etdiviser m par n :
m = nq + r avec 0 r < n.
Si r = 0
n−1
k=0
E(x +
k
n
) = nq = m = E(nx)
Si r > 0
n−1
k=0
E(x +
k
n
) =
n−1−r
k=0
E(x +
k
n
)
+
n−1
k=n−r
E(x +
k
n
) = (n − r)q + r(q +1)=nq + r = m = E(nx)
19 Montreràl’aide de la formule du binôme que
(2 +
√ 3)
n +(2−
√ 3)
n est un entier pair.
20 Calculer
m +2n
m+n
−
√ 2etmontrer que:
m+2n
m+n
−
√ 2
<
m
n
−
√ 2
et que :
sgn
m +2n
m+n
−
√ 2
=−sgn
m
n
−
√ 2
En partantde
m
n
=
3
2
et en réitérant le procédé, on aboutit à:
239
169
<
√ 2 <
99
70
avec
99
70
−
239
169
8, 5 · 10
−5
Chapitre 14
1 a) Faux ;ex:un=
1+(−1)
n
n
. b) Faux,sauf si l = 0,
ex : un = (−1)
n . c) Vrai.
d) Vrai.
e) Faux. ;e x:
u n=
1
n
v n=n f) Faux ;e x:u n =( − 1)
n g) Faux. ;e x:
u n=nv n = n +1 h) Vrai. i) Faux ;e x:x n =1+
1
n
or,
lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n = e j) Vrai.
2 Considérer lessuites extraites (x 6n )et(x 6 n +3 ).
3 S2n − Sn =
2n
k=n+1
1
k
.M inorer cette somme. (Combien
a-t-elle de termes ?Quel estleplus petit ?)
4 Utiliser la formuledubinôme.
D’où sin
(3 +
√ 5)
n π
= − sin
(3 −
√ 5)
n π
qui converge évidemmentvers 0.
5 a) 1. b) 0. c) −1. d) 1. e)
x
2
.
f) e.
g) 1. h) 1. i) e
−1 .
6 a)
1
√ n
. b)
2
n 2 . c)
1
n
. d)
ln n
n
. e)
1
n
.
f)
√ 3. g)
√ 3
n e
√ 3+
√
3
3
. h)
√ 3
π .
7 a) e
x . b) e
−2 . c) e
x . d) e
8 .
8 Démontrer l’inégalité indiquée parrécurrence, puis essayer
de l’utiliser pour m = n, m = n − 1, m = n − 2.
(Réponse :(xn)converge vers 1.)
9 xn estcompris entre les racines d’un trinôme, donc la suite
est bornée. Quelle est sonsens de variation ?
10 1) Étudier les variations de la fonction x → Pn(x)sur R+.
2) Utiliser Pn+1(x) = x
n+1 + Pn(x).
3) Utiliser la somme des termes d’une suite géométrique. Conclure
en remarquant que ∀n 2 αn α2 < 1
Réponse: (αn)c onverge vers
1
2
.
11 Calculer Sn+1 − Sn et S
n+1 − S
n .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
561
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15 Tout intervalle I non vide et non réduit àu ns ingleton
contient un intervalle J borné nonv ide et non réduit àu ns ingleton. J contient une infinité de rationnels, mais seulement un
nombre fini de rationnels de dénominateur inférieuro ué gal à
10
6 . J contient donc une infinité de rationnels de dénominateur
supérieur à10
6 .
L’ensemble des rationnels de dénominateur inférieur à10
6 de l’intervalle [x − 1, x]est fini ;ilpossède donc un plus grand élément
r. Comme x ∈ Q, r < x. De même, l’ensembledes rationnels de
dénominateur inférieur à10
6 de l’intervalle [x, x +1]possède un
plus petit élément r
> x. En choisissant ε < min(x − r, r
− x),
on est sûrque les rationnels de l’intervalle [x − ε, x + ε]o nt tous
des dénominateurs supérieurs ou égaux à10
6 .
16 1)
⎧
⎨
⎩
|2x| = |(x + y)+(x−y)||x+y|+|x−y|
|2y|=|(x+y)−(x−y)||x+y|+|x−y|
Ajouter membre àmembre...
2) Poser x
= x − 1ety
=y−1.
17 Distinguer 4c as suivant la position de x par rapport à
E(x)+
1
2
et celle de y parrapport à E(y)+
1
2
.
18 1) En partant de E(nx) nx , on obtient :
E
E(nx)
n
E(x).
En partant de nE(x) nx, on obtient :
E(x) E
E(nx)
n
.
2) Poser m = E(nx)etdiviser m par n :
m = nq + r avec 0 r < n.
Si r = 0
n−1
k=0
E(x +
k
n
) = nq = m = E(nx)
Si r > 0
n−1
k=0
E(x +
k
n
) =
n−1−r
k=0
E(x +
k
n
)
+
n−1
k=n−r
E(x +
k
n
) = (n − r)q + r(q +1)=nq + r = m = E(nx)
19 Montreràl’aide de la formule du binôme que
(2 +
√ 3)
n +(2−
√ 3)
n est un entier pair.
20 Calculer
m +2n
m+n
−
√ 2etmontrer que:
m+2n
m+n
−
√ 2
<
m
n
−
√ 2
et que :
sgn
m +2n
m+n
−
√ 2
=−sgn
m
n
−
√ 2
En partantde
m
n
=
3
2
et en réitérant le procédé, on aboutit à:
239
169
<
√ 2 <
99
70
avec
99
70
−
239
169
8, 5 · 10
−5
Chapitre 14
1 a) Faux ;ex:un=
1+(−1)
n
n
. b) Faux,sauf si l = 0,
ex : un = (−1)
n . c) Vrai.
d) Vrai.
e) Faux. ;e x:
u n=
1
n
v n=n f) Faux ;e x:u n =( − 1)
n g) Faux. ;e x:
u n=nv n = n +1 h) Vrai. i) Faux ;e x:x n =1+
1
n
or,
lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n = e j) Vrai.
2 Considérer lessuites extraites (x 6n )et(x 6 n +3 ).
3 S2n − Sn =
2n
k=n+1
1
k
.M inorer cette somme. (Combien
a-t-elle de termes ?Quel estleplus petit ?)
4 Utiliser la formuledubinôme.
D’où sin
(3 +
√ 5)
n π
= − sin
(3 −
√ 5)
n π
qui converge évidemmentvers 0.
5 a) 1. b) 0. c) −1. d) 1. e)
x
2
.
f) e.
g) 1. h) 1. i) e
−1 .
6 a)
1
√ n
. b)
2
n 2 . c)
1
n
. d)
ln n
n
. e)
1
n
.
f)
√ 3. g)
√ 3
n e
√ 3+
√
3
3
. h)
√ 3
π .
7 a) e
x . b) e
−2 . c) e
x . d) e
8 .
8 Démontrer l’inégalité indiquée parrécurrence, puis essayer
de l’utiliser pour m = n, m = n − 1, m = n − 2.
(Réponse :(xn)converge vers 1.)
9 xn estcompris entre les racines d’un trinôme, donc la suite
est bornée. Quelle est sonsens de variation ?
10 1) Étudier les variations de la fonction x → Pn(x)sur R+.
2) Utiliser Pn+1(x) = x
n+1 + Pn(x).
3) Utiliser la somme des termes d’une suite géométrique. Conclure
en remarquant que ∀n 2 αn α2 < 1
Réponse: (αn)c onverge vers
1
2
.
11 Calculer Sn+1 − Sn et S
n+1 − S
n .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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