SOLUTIONS
13
Solutions
18 Utiliser la sommedes trois racines pour trouver la troisième
racine,puis factoriser. On obtient λ = −3.
19 Lesracines de ce polynôme sont a, 2a, b,avec :
3a + b = 0e t2 a
2 +3ab = −7.
On obtient
(a = 1etλ=6) ou (a = −1etλ=−6).
20 La linéarité de l’intégrale permet de se ramener au casd’un
monôme P = X
n ,pour établir la première égalité.
On aensuite :
j,k
aja k
j + k +1
=
1
0
P(t)
2 dt
1
− 1
P(t)
2 dt =
π
0
P(e
iθ )
2 e
iθ dθ
π
0
P(e
iθ )
2 dθ
Comme P estàcoefficients réels,
P(e
iθ )
2 = P(e
iθ )P(e
−iθ ), d’où :
π
0
P(e
iθ )
2 dθ =
1
2
π
−π
P(e
iθ )P(e
−iθ )dθ =
1
2
j,k
aja k
π
−π
e
i(j−k)θ dθ
Si j = k,
π
−π
e
i(j−k)θ dθ = 0;d’où :
π
0
P(e
iθ )
2 dθ =
1
2
n
k=0
2πa
2
k
Chapitre 13
1 a) Faux : ∅ est majoré. b) Faux:sup{0} = 0. c) Faux :
−
√ 2+
√ 2=0∈Q. d) Vrai e) Faux :entre deux irrationnels
distincts, il existe toujours un rationnel. f) Vrai. g) Vrai.
h) Vrai.
2 Montrerque ∀x ∈ R+ x(1 − x)
1
4
. Que peut-on en
déduirepour le produit des trois réels a(1−b), b(1−c)etc(1−a)?
3 On peut raisonner parrécurrence ou directement écrire :
(x1 + ···+xn)
1
x1
+···
1
xn
= n+
1i
xj
+
xj
xi
Or ∀x ∈ R
∗
+
x +
1
x
2; terminer le calcul...
4 a) sup E = 1; inf E = 0.
b) sup E = 1; inf E = −1
c) sup E = 1; inf E = −1
5 a est un minorantdel’intervalle ]b, +∞[, il est donc inférieur
ou égalàsa borne inférieure.
6 1) sup B est un majorantdeA,donc...
2) A∪B est non vide et majoré par max(sup A, sup B) , donc il admetune borne supérieure et sup(A ∪ B) max(sup A, sup B).
En utilisant1 ., montrer que sup A sup(A ∪ B)e ts up B
sup(A ∪ B). Conclure.
3) A ∩ B est majoré parmin(sup A, sup B), maisilpeut être vide :
il n’a pasn écessairement de borne supérieure. S’il en au ne, on
peut seulement dire que:
sup(A ∩ B) min(sup A, sup B), maiscen’est pasnécessairement
une égalité.
7 La partie A est majoréepar tout élément b de B, donc elle
admet une borne supérieure et ∀b ∈ B sup A b. On en déduit que B estminoré parsup A, etc. L’égalité n’est pas nécessaire
(chercherdes exemples).
8 La partie A possèdeu ne borne inférieure et une borne
supérieure, et sup A − inf A est un majorant de l’ensemble des
distances entre deux éléments de A. On en déduit la première
inégalité. D’autrepart, pour tout ε > 0, inf A + ε n’est pasun
minorant de A et sup A − ε n’est pasu nm ajorant de A, d’où
l’existence de deux éléments x et y de A tels que...
Conclusion :sup A − inf A est le plus petit majorant de l’ensemble
des distances entre deux éléments de A : d (A) = sup A − inf A.
9 On remarque que :
xn = (xn − yn)+yn |xn−yn|+yn sup |xn − yn| +sup yn
Terminer tout seul...
10
√ x −
√ y =
x − y
√ x +
√ y
. Si
√ x +
√ y étaitrationnel,
√ x −
√ y
le serait aussi, donc...
11 Si
n
√ m =
p
q
avec (p, q) ∈ N
∗2 , mq
n = p
n :dans la décomposition en facteurs premiers de m, tousles exposants doivent être
multiples de n.
12 Calculer a
3 et b
4 ...
13 Supposer que
√ 2+
√ 3=
√ 6+ravec r ∈ Q et élever au
carré...
14 Montrerque pour tout
n ∈ N, (1 +
√ 2)
n = an + bn
√ 2
où an et bn sont des entiers.
Montrerque a
2
n − 2b
2
n = (−1)
n et conclure en distinguant suivant
la parité de n.
560
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Solutions
18 Utiliser la sommedes trois racines pour trouver la troisième
racine,puis factoriser. On obtient λ = −3.
19 Lesracines de ce polynôme sont a, 2a, b,avec :
3a + b = 0e t2 a
2 +3ab = −7.
On obtient
(a = 1etλ=6) ou (a = −1etλ=−6).
20 La linéarité de l’intégrale permet de se ramener au casd’un
monôme P = X
n ,pour établir la première égalité.
On aensuite :
j,k
aja k
j + k +1
=
1
0
P(t)
2 dt
1
− 1
P(t)
2 dt =
π
0
P(e
iθ )
2 e
iθ dθ
π
0
P(e
iθ )
2 dθ
Comme P estàcoefficients réels,
P(e
iθ )
2 = P(e
iθ )P(e
−iθ ), d’où :
π
0
P(e
iθ )
2 dθ =
1
2
π
−π
P(e
iθ )P(e
−iθ )dθ =
1
2
j,k
aja k
π
−π
e
i(j−k)θ dθ
Si j = k,
π
−π
e
i(j−k)θ dθ = 0;d’où :
π
0
P(e
iθ )
2 dθ =
1
2
n
k=0
2πa
2
k
Chapitre 13
1 a) Faux : ∅ est majoré. b) Faux:sup{0} = 0. c) Faux :
−
√ 2+
√ 2=0∈Q. d) Vrai e) Faux :entre deux irrationnels
distincts, il existe toujours un rationnel. f) Vrai. g) Vrai.
h) Vrai.
2 Montrerque ∀x ∈ R+ x(1 − x)
1
4
. Que peut-on en
déduirepour le produit des trois réels a(1−b), b(1−c)etc(1−a)?
3 On peut raisonner parrécurrence ou directement écrire :
(x1 + ···+xn)
1
x1
+···
1
xn
= n+
1i
xj
+
xj
xi
Or ∀x ∈ R
∗
+
x +
1
x
2; terminer le calcul...
4 a) sup E = 1; inf E = 0.
b) sup E = 1; inf E = −1
c) sup E = 1; inf E = −1
5 a est un minorantdel’intervalle ]b, +∞[, il est donc inférieur
ou égalàsa borne inférieure.
6 1) sup B est un majorantdeA,donc...
2) A∪B est non vide et majoré par max(sup A, sup B) , donc il admetune borne supérieure et sup(A ∪ B) max(sup A, sup B).
En utilisant1 ., montrer que sup A sup(A ∪ B)e ts up B
sup(A ∪ B). Conclure.
3) A ∩ B est majoré parmin(sup A, sup B), maisilpeut être vide :
il n’a pasn écessairement de borne supérieure. S’il en au ne, on
peut seulement dire que:
sup(A ∩ B) min(sup A, sup B), maiscen’est pasnécessairement
une égalité.
7 La partie A est majoréepar tout élément b de B, donc elle
admet une borne supérieure et ∀b ∈ B sup A b. On en déduit que B estminoré parsup A, etc. L’égalité n’est pas nécessaire
(chercherdes exemples).
8 La partie A possèdeu ne borne inférieure et une borne
supérieure, et sup A − inf A est un majorant de l’ensemble des
distances entre deux éléments de A. On en déduit la première
inégalité. D’autrepart, pour tout ε > 0, inf A + ε n’est pasun
minorant de A et sup A − ε n’est pasu nm ajorant de A, d’où
l’existence de deux éléments x et y de A tels que...
Conclusion :sup A − inf A est le plus petit majorant de l’ensemble
des distances entre deux éléments de A : d (A) = sup A − inf A.
9 On remarque que :
xn = (xn − yn)+yn |xn−yn|+yn sup |xn − yn| +sup yn
Terminer tout seul...
10
√ x −
√ y =
x − y
√ x +
√ y
. Si
√ x +
√ y étaitrationnel,
√ x −
√ y
le serait aussi, donc...
11 Si
n
√ m =
p
q
avec (p, q) ∈ N
∗2 , mq
n = p
n :dans la décomposition en facteurs premiers de m, tousles exposants doivent être
multiples de n.
12 Calculer a
3 et b
4 ...
13 Supposer que
√ 2+
√ 3=
√ 6+ravec r ∈ Q et élever au
carré...
14 Montrerque pour tout
n ∈ N, (1 +
√ 2)
n = an + bn
√ 2
où an et bn sont des entiers.
Montrerque a
2
n − 2b
2
n = (−1)
n et conclure en distinguant suivant
la parité de n.
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