Solutions
SOLUTIONS
12
3) P(X ) = (X − a)(X − b)Q(X )+αX +β où α =
P(a) − P(b)
a − b
et β =
aP(b) − bP(a)
a − b
.
(X − a)(X − b)divise P si et seulementsi P(a)=P(b)=0.
7 X
4 +aX
2 + bX + c =
(X
2 + X +1)(X
2 − X + a)+
(−a+b+1)X −a+c
.
Bdivise A si et seulementsia=c=b+1.
8 Montrer que An(1) = A
n (1) = 0(cf. ex. 6). Vérifier que:
An(X)=(X −1)
2 nX
n−1 +(n−1)X
n−2 + ···+2X +1
9 Remarquer quedans C [X ],
X
2 − 2X cos θ +1=(X −e
i θ )(X − e
−iθ )etutiliser le résultat de
la question 3.del’exercice 6. Vérifier que :
An(X ) = (X
2 − 2X cos θ +1)
n − 2
k = 0
sin(n − 1 − k)θ X
k
10 a, b, c sont troisracines distinctes du polynôme P − 1, dont
le degré estinférieur ou égal à3.Enfaisant X = 0, on obtient:
λ=
1
abc
.
11 Chercher les racinesdeP−Q.
P=(X −2)(X − 3)(X − 4)
Q = (X +1)(X − 3)(X − 5)
12 P = (X
2 − X +1)
2 −i
2
=(X
2 −X +1−i)(X
2 − X +1+i)
=(X +i)(X − 1 − i)(X − i)(X − 1+i)
En regroupant les facteurs conjugués :
P = (X
2 +1)(X
2 − 2X +2)
13 A = B(X
2 +3X +1)−6
=B(B+1)−6
=B
2 +B−6
=(B+3)(B − 2)
Dans Q[X ]: A=(X
2 +3X +3)(X
2 +3X −2)
Dans R [X ]:
A=
X
2 +3X +3
X +
3−
√ 17
2
X +
3+
√ 17
2
Dans C [X ]:
A=
X +
3+i
√ 3
2
X +
3−i
√ 3
2
X +
3−
√ 17
2
X +
3+
√ 17
2
14 P = (X
2 +3aX + a
2 )
2 .
On en déduit
Q = P − 9a
4 = (X
2 +3aX − 2a
2 )(X
2 +3aX +4a
2 )
Dans R [X ]:
Q =
X +
a
2
(3 +
√ 17)
X +
a
2
(3 −
√ 17)
(X
2 +3aX +4a
2 )
Dans C [X ]:
Q =
X +
a
2
(3 +
√ 17)
X +
a
2
(3 −
√ 17)
X +
a
2
(3 + i
√ 7)
X +
a
2
(3 − i
√ 7)
15 1) Soit α uneracine de P.Onmontre facilement que (α+1)
2
et (α − 1)
2 sont racines de P.Or( α +1)
2 −(α−1)
2 = 4α,d’où
|(α +1)
2 |+|(α−1)
2 | 4|α|.
L’une au moins des deux racines (α +1)
2 ou (α − 1)
2 adoncun
module strictement supérieur à |α|.
2) Dèsque P possèdeune racine, il en possède une infinité. C’est
donc un polynôme constant (soit il n’a aucune racine, soit il en a
une infinité). Les seules constantes vérifiant la condition donnée
sont 0et1.
16 a, b, c vérifient :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a + b + c = −p
ab + bc + ca = q
abc = −r
1) On en déduit :
a
2 + b
2 + c
2 = p
2 − 2q
a
3 + b
3 + c
3 = −p
3 +3pq − 3r
a
4 + b
4 + c
4 = p
4 − 4p
2 q +2q
2 +4pr
1
a
+
1
b
+
1
c
= −
q
r
1
a 2 +
1
b 2 +
1
c 2 =
q
2 − 2pr
r 2
2) Q(X ) = X
3 − (a
2 + b
2 + c
2 )X
2
+( a
2 b
2 +b
2 c
2 +c
2 a
2 ) X−a
2 b
2 c
2
=X
3 −( p
2 −2 q ) X
2 +(q
2 −2pr)X − r
2
17 Les racines de ce polynôme sont a − r, a, a + r.Utiliser la
somme des racines pourtrouver a,etleproduit des racines pour
trouver r.
P = (2X − 3)(2X − 1)(2X +1).
Vérifier que les racines sont bien en progression arithmétique.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3) P(X ) = (X − a)(X − b)Q(X )+αX +β où α =
P(a) − P(b)
a − b
et β =
aP(b) − bP(a)
a − b
.
(X − a)(X − b)divise P si et seulementsi P(a)=P(b)=0.
7 X
4 +aX
2 + bX + c =
(X
2 + X +1)(X
2 − X + a)+
(−a+b+1)X −a+c
.
Bdivise A si et seulementsia=c=b+1.
8 Montrer que An(1) = A
n (1) = 0(cf. ex. 6). Vérifier que:
An(X)=(X −1)
2 nX
n−1 +(n−1)X
n−2 + ···+2X +1
9 Remarquer quedans C [X ],
X
2 − 2X cos θ +1=(X −e
i θ )(X − e
−iθ )etutiliser le résultat de
la question 3.del’exercice 6. Vérifier que :
An(X ) = (X
2 − 2X cos θ +1)
n − 2
k = 0
sin(n − 1 − k)θ X
k
10 a, b, c sont troisracines distinctes du polynôme P − 1, dont
le degré estinférieur ou égal à3.Enfaisant X = 0, on obtient:
λ=
1
abc
.
11 Chercher les racinesdeP−Q.
P=(X −2)(X − 3)(X − 4)
Q = (X +1)(X − 3)(X − 5)
12 P = (X
2 − X +1)
2 −i
2
=(X
2 −X +1−i)(X
2 − X +1+i)
=(X +i)(X − 1 − i)(X − i)(X − 1+i)
En regroupant les facteurs conjugués :
P = (X
2 +1)(X
2 − 2X +2)
13 A = B(X
2 +3X +1)−6
=B(B+1)−6
=B
2 +B−6
=(B+3)(B − 2)
Dans Q[X ]: A=(X
2 +3X +3)(X
2 +3X −2)
Dans R [X ]:
A=
X
2 +3X +3
X +
3−
√ 17
2
X +
3+
√ 17
2
Dans C [X ]:
A=
X +
3+i
√ 3
2
X +
3−i
√ 3
2
X +
3−
√ 17
2
X +
3+
√ 17
2
14 P = (X
2 +3aX + a
2 )
2 .
On en déduit
Q = P − 9a
4 = (X
2 +3aX − 2a
2 )(X
2 +3aX +4a
2 )
Dans R [X ]:
Q =
X +
a
2
(3 +
√ 17)
X +
a
2
(3 −
√ 17)
(X
2 +3aX +4a
2 )
Dans C [X ]:
Q =
X +
a
2
(3 +
√ 17)
X +
a
2
(3 −
√ 17)
X +
a
2
(3 + i
√ 7)
X +
a
2
(3 − i
√ 7)
15 1) Soit α uneracine de P.Onmontre facilement que (α+1)
2
et (α − 1)
2 sont racines de P.Or( α +1)
2 −(α−1)
2 = 4α,d’où
|(α +1)
2 |+|(α−1)
2 | 4|α|.
L’une au moins des deux racines (α +1)
2 ou (α − 1)
2 adoncun
module strictement supérieur à |α|.
2) Dèsque P possèdeune racine, il en possède une infinité. C’est
donc un polynôme constant (soit il n’a aucune racine, soit il en a
une infinité). Les seules constantes vérifiant la condition donnée
sont 0et1.
16 a, b, c vérifient :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a + b + c = −p
ab + bc + ca = q
abc = −r
1) On en déduit :
a
2 + b
2 + c
2 = p
2 − 2q
a
3 + b
3 + c
3 = −p
3 +3pq − 3r
a
4 + b
4 + c
4 = p
4 − 4p
2 q +2q
2 +4pr
1
a
+
1
b
+
1
c
= −
q
r
1
a 2 +
1
b 2 +
1
c 2 =
q
2 − 2pr
r 2
2) Q(X ) = X
3 − (a
2 + b
2 + c
2 )X
2
+( a
2 b
2 +b
2 c
2 +c
2 a
2 ) X−a
2 b
2 c
2
=X
3 −( p
2 −2 q ) X
2 +(q
2 −2pr)X − r
2
17 Les racines de ce polynôme sont a − r, a, a + r.Utiliser la
somme des racines pourtrouver a,etleproduit des racines pour
trouver r.
P = (2X − 3)(2X − 1)(2X +1).
Vérifier que les racines sont bien en progression arithmétique.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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