SOLUTIONS
15
Solutions
12 Représenter graphiquement la fonction x
→
1
x
surl’intervalle [n, 2n]. Conclusion :lalimite commune des deux suites est
ln 2.
13 Calculer S2n+2 − S2n et S2n+3 − S2n+1.
14 N’est-ce pasqu’elles sont adjacentes ?
15 Montrerp ar récurrence que un vn,p uis que( u n )e st
croissante, (vn)décroissante, qu’elles convergent et qu’elles ont la
même limite.
Calculer u1, v1, u2, v2,etc. en fonction de b et α.Généraliser. On
obtient :
vn = b cos
α
2
···cos
α
2 n = b
sin α
2 n sin
α
2 n
.
D’où:
lim
n→∞
vn = b
sin α
α
.
16 Montrerpar récurrence que un vn,puis que(un)est croissante, (vn)décroissante, qu’elles convergent et qu’elles ont la même
limite.Enfin, ∀n ∈ N unvn = 2. D’où lim
n→∞
un = lim
n→∞
vn =
√ 2.
17 xn+1 + iyn+1 =
1+i
2
(xn +iyn). La suite (xn + iyn)e st géométrique de raison
√ 2
2
e
i
π
4 , donc elle converge vers 0, ainsi, par
conséquent,que les suites réelles (xn)et(yn).
18 Si la suite( z n )c onverge dans C, sa limite l doitv érifier
l =
i
2
l +1.Montrer quecette équation admet une unique solution l0 et que pour tout n ∈ N : zn+1 − l0 =
i
2
(zn − l0).
Conclure en utilisant l’Application 9.
19 Posons 1+
z
n
=
1+
x
n
+i
y
n
=rne
i θ n
,avec rn ∈ R+
et θn ∈ ] − π, π].
un =
1+
z
n
n =r
n
n e
inθn
rn =
1+
x
n
2 +
y 2
n 2 =
1+
2x
n
+o
1
n
=1+
x
n
+o
1
n
ln rn ∼
(n→∞)
x
n
, donc : |un| = r
n
n = e
n ln rn −→
( n → ∞ )
e
x
tan θn =
y
n + x
∼
(n→∞)
y
n
;d ’où θn ∼
(n→∞)
y
n
arg un = nθn −→
( n → ∞ )
y
En définitive, lim
n→∞
un = e
x e
iy = e
z .
20 1) Non. Exemple : un =
1
n
et vn =
2
n
.
2) La suite (vn)étant convergente, elle est majorée ;donc (un)est
également majorée, et comme elle est croissante, elle converge.
En passantàla limite,o na:l im
n→+∞
un lim
n→+∞
vn.D ep lus,
comme( u n )e st croissante, pour tout n ∈ N un lim
n→+∞
un,
d’où un lim
n→+∞
vn.
21 Considérons la suite complexe zn = un − jvn où j = e
2iπ/3 .
On remarque que :
|zn|
2 = zn · zn = (un − jvn)(un − jvn)
= u
2
n − (j + j)unvn + jjv
2
n = u
2
n + unvn + v
2
n
Donc |zn|
2 converge vers 0;la suite complexe (zn)converge vers 0.
Or :Re(zn)=un+
1
2
vnet Im (zn) = −
√ 3vn,donc les suites (vn)
et (un)convergent vers 0.
22 Montrons queces deux suites sont adjacentes :
un+1
un
= 1+
1
(n+1)(n +1)!
1:la suite (un)est croissante.
vn+1
vn
=
un+1
un
1+
1
( n +1)(n+1)!
1+
1
nn!
=
1+
1
( n +1) 2 n!
2
1+
1
nn!
=
1+o
1
nn!
1 −
1
nn!
+ o
1
nn!
.
vn+1
vn
= 1 −
1
nn!
+ o
1
nn!
la suite (vn)est décroissante àpartir d’un certain rang.
Enfin, vn − un =
un
nn!
;comme un estmajorée par v1 = 4, cette
différenceconverge vers 0:les suites (un)et(vn)sont adjacentes ;
elles convergent et ont la même limite.
Chapitre 15
1 a) Faux ex : f (x) = x
3 ; g(x) = −x. b) Vrai.
c) Faux ;ex:x+2sin x.
d) Vrai. e) Faux ;ex:χ Q . f) Vrai. g) Faux ;ex:E(−x
2 ).
h) Faux ;e x:χ Q . i) Faux ;e x:f( x)=
1
x
; g( x)=
1
x
+1au
voisinagede0. j) Faux ;ex:f(x)=x; g(x)=x
2 au voisinage
de 0.
k) Faux ;e x:f( x )=χ Q ( x ) ,
n +1
n
converge vers 1e t
f
n +1
n
converge vers f (1),m ais f n’estp as continue en
1.
l) Faux ;e x:f( x)=sin x et I =]0, 2π[. m) Faux ;e x:
1
x
est
continue et non bornée sur]0,1[ n) Vrai. o) Vrai. p) Vrai.
2 Analyse:si f estlasomme d’une fonction paire g et d’une
fonction impaire h,e xprimer g(x)e th ( x)e nf onction de f (x)e t
f( − x).
Synthèse :L es fonctions g et h trouvées conviennent-ellesq uelle
que soit la fonction f ?
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Solutions
12 Représenter graphiquement la fonction x
→
1
x
surl’intervalle [n, 2n]. Conclusion :lalimite commune des deux suites est
ln 2.
13 Calculer S2n+2 − S2n et S2n+3 − S2n+1.
14 N’est-ce pasqu’elles sont adjacentes ?
15 Montrerp ar récurrence que un vn,p uis que( u n )e st
croissante, (vn)décroissante, qu’elles convergent et qu’elles ont la
même limite.
Calculer u1, v1, u2, v2,etc. en fonction de b et α.Généraliser. On
obtient :
vn = b cos
α
2
···cos
α
2 n = b
sin α
2 n sin
α
2 n
.
D’où:
lim
n→∞
vn = b
sin α
α
.
16 Montrerpar récurrence que un vn,puis que(un)est croissante, (vn)décroissante, qu’elles convergent et qu’elles ont la même
limite.Enfin, ∀n ∈ N unvn = 2. D’où lim
n→∞
un = lim
n→∞
vn =
√ 2.
17 xn+1 + iyn+1 =
1+i
2
(xn +iyn). La suite (xn + iyn)e st géométrique de raison
√ 2
2
e
i
π
4 , donc elle converge vers 0, ainsi, par
conséquent,que les suites réelles (xn)et(yn).
18 Si la suite( z n )c onverge dans C, sa limite l doitv érifier
l =
i
2
l +1.Montrer quecette équation admet une unique solution l0 et que pour tout n ∈ N : zn+1 − l0 =
i
2
(zn − l0).
Conclure en utilisant l’Application 9.
19 Posons 1+
z
n
=
1+
x
n
+i
y
n
=rne
i θ n
,avec rn ∈ R+
et θn ∈ ] − π, π].
un =
1+
z
n
n =r
n
n e
inθn
rn =
1+
x
n
2 +
y 2
n 2 =
1+
2x
n
+o
1
n
=1+
x
n
+o
1
n
ln rn ∼
(n→∞)
x
n
, donc : |un| = r
n
n = e
n ln rn −→
( n → ∞ )
e
x
tan θn =
y
n + x
∼
(n→∞)
y
n
;d ’où θn ∼
(n→∞)
y
n
arg un = nθn −→
( n → ∞ )
y
En définitive, lim
n→∞
un = e
x e
iy = e
z .
20 1) Non. Exemple : un =
1
n
et vn =
2
n
.
2) La suite (vn)étant convergente, elle est majorée ;donc (un)est
également majorée, et comme elle est croissante, elle converge.
En passantàla limite,o na:l im
n→+∞
un lim
n→+∞
vn.D ep lus,
comme( u n )e st croissante, pour tout n ∈ N un lim
n→+∞
un,
d’où un lim
n→+∞
vn.
21 Considérons la suite complexe zn = un − jvn où j = e
2iπ/3 .
On remarque que :
|zn|
2 = zn · zn = (un − jvn)(un − jvn)
= u
2
n − (j + j)unvn + jjv
2
n = u
2
n + unvn + v
2
n
Donc |zn|
2 converge vers 0;la suite complexe (zn)converge vers 0.
Or :Re(zn)=un+
1
2
vnet Im (zn) = −
√ 3vn,donc les suites (vn)
et (un)convergent vers 0.
22 Montrons queces deux suites sont adjacentes :
un+1
un
= 1+
1
(n+1)(n +1)!
1:la suite (un)est croissante.
vn+1
vn
=
un+1
un
1+
1
( n +1)(n+1)!
1+
1
nn!
=
1+
1
( n +1) 2 n!
2
1+
1
nn!
=
1+o
1
nn!
1 −
1
nn!
+ o
1
nn!
.
vn+1
vn
= 1 −
1
nn!
+ o
1
nn!
la suite (vn)est décroissante àpartir d’un certain rang.
Enfin, vn − un =
un
nn!
;comme un estmajorée par v1 = 4, cette
différenceconverge vers 0:les suites (un)et(vn)sont adjacentes ;
elles convergent et ont la même limite.
Chapitre 15
1 a) Faux ex : f (x) = x
3 ; g(x) = −x. b) Vrai.
c) Faux ;ex:x+2sin x.
d) Vrai. e) Faux ;ex:χ Q . f) Vrai. g) Faux ;ex:E(−x
2 ).
h) Faux ;e x:χ Q . i) Faux ;e x:f( x)=
1
x
; g( x)=
1
x
+1au
voisinagede0. j) Faux ;ex:f(x)=x; g(x)=x
2 au voisinage
de 0.
k) Faux ;e x:f( x )=χ Q ( x ) ,
n +1
n
converge vers 1e t
f
n +1
n
converge vers f (1),m ais f n’estp as continue en
1.
l) Faux ;e x:f( x)=sin x et I =]0, 2π[. m) Faux ;e x:
1
x
est
continue et non bornée sur]0,1[ n) Vrai. o) Vrai. p) Vrai.
2 Analyse:si f estlasomme d’une fonction paire g et d’une
fonction impaire h,e xprimer g(x)e th ( x)e nf onction de f (x)e t
f( − x).
Synthèse :L es fonctions g et h trouvées conviennent-ellesq uelle
que soit la fonction f ?
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