SOLUTIONS
10
Solutions
3) f (x) = (1 + x)
n =
n
p=0
n
p
x
p . Calculer de deux façons f
(1).
4) Calculer de deux façons
1
0
f (t)dt
n
p=0
1
p+1
n
p
=
2
n +1 − 1
n +1
16 1) Écrire les expressions àl’aide de factorielles et simplifier.
2) Dénombrerd edeux façons les couples (X , Y )departies d’un
ensemble E de cardinal n telles que:X ⊂ Y,Card X = k,
Card Y = p.
3) Développer ((a + b)+c)
n et (a +( b+c))
n , et comparer les
coefficients de a
k b
p−k c
n−p .
17 Trois méthodes possibles (cf. Application 5) :
–par récurrence ;
–e nd énombrant de deux façons les parties à k éléments d’un
ensemble de cardinal (n + p);
–e ni dentifiant les coefficients de x
k dans( 1+x )
n + p
et
(1 + x)
n (1 + x)
p .
Avec n = p = k , on obtient:
n
i = 0
n
i
2 =
2 n
n
.
18 (1 + i)
4n =
2n
p=0
4n
2p
(−1)
p + i
2n−1
p=0
4n
2p+1
(−1)
p
Calculer directement (1 + i)
4n et identifier les parties réelles et les
partiesimaginaires.
2n
p=0
4n
2p
(−1)
p = (−4)
n
2n−1
p=0
4n
2p+1
(−1)
p = 0
19 D’une part :
(cos ϕ + i sin ϕ)
2n = e
2i(3k+1)
π
3 = e
2i
π
3 = −
1
2
+ i
√
3
2
D’autrepart,
(cos ϕ + i sin ϕ)
2n =
2n
k=0
2n
k
1
2
2n−k √
3
2
k
i
k
Identifier les parties imaginaires.
20 Soit p un entier inférieur ou égalàn;d ésignons par Mn,p
le nombre de motsdeplettres que l’on peut former sans utiliser
deux fois la même lettre.Pour spécifier un tel mot, il faut choisir
p lettres parmi n,etles ordonner, d’où :
Mn,p =
n
p
p! =
n!
(n − p)!
On aalors : Mn =
n
p=1
Mn,p = n!
n
p=1
1
(n − p)!
= n!
n
p=0
1
p!
−1.
Les suites (un)et(vn)définies par:un =
n
p = 0
1
p!
et vn = un +
1
n!
sont adjacentes ;e lles convergent donc vers un même réel, qui
d’après la formule de Taylor n’est autre que e. On adonc bien :
∀n ∈ N
∗
n
p=0
1
p!
< e <
n
p=0
1
p!
+
1
n!
d’où : Mn +1
Chapitre 10
1 a) Faux ;0−2 =2. b) Faux ;2n’est pasinversible dans N.
c) Faux ; −2 ∈ N. d) Faux en général, sauf lorsque ce morphisme
est injectif. e) Faux;0n’est pasrégulier pour la multiplication. f)
Faux ;0n’est pasinversible. g) Vrai. h) Vrai. i) Faux. j) Vrai. k)
Faux ;ils ont un diviseur commun, qui est1(c’estleseul).
2 ∩ est une l.c.i. dans P(E), commutative, associative. E est
élémentneutre ;aucun élément autre que E n’a de symétrique.
• ∪ estu ne l.c.i. dans P(E), commutative, associative. ∅ est
élémentneutre ;aucun élément autre que ∅ n’a de symétrique.
• estune l.c.i. dans P(E), commutative, associative. ∅ estélément neutre ;tout élément A de P(E)est son propre symétrique.
3 1) Choisir (x, y, u, v) = (e, f , f , e).
2) Choisir (x, y, u, v) = (x, e, e, z).
3) Choisir (x, y, u, v) = (x, y, e, z),
puis(x,y,u,v)=(e,y,z,e).
4 Ceci permet de transférer certaines structures d’un ensemble F àl’ensemble des applications d’un ensemble quelconque
dans F .
Exemple :L’ensemble des suites numériques et l’ensemble des fonctions numériques sont, comme R, des anneaux commutatifs.
Attention :Lastructure de corps ne se transmet pas, carilpeut y
avoird’autres éléments quel’élément nul qui n’ont pas d’inverse.
5 1) Il s’agit bien d’une loi interne dans R ;elle est commutative, associative. 0est élément neutre, mais 1n’a pasdesymétrique :
(R, ∗)n’est pas un groupe.
2) Avant de conclure trop rapidement, vérifier soigneusement que
R\{1} eststable par ∗ ;lal.c.i. induite est encore associative, d’élément neutre 0, et tout élément a de R\{1} possède un inverse
a
a − 1
quiappartient aussi à R\{1}.
(R\{1}, ∗)est un groupe abélien.
6 Il s’agit bien d’une loi internedans R
2 . Vérifier soigneusementl ’associativité. (0, 0) esté lément neutre. Tout couple (x, y)
admet pour symétriquel ec ouple (−x, −y). (R
2 , ∗)e st bien un
groupe ;iln’est pas abélien (essayer).
7 Utiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
8 Réutiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
554
10
Solutions
3) f (x) = (1 + x)
n =
n
p=0
n
p
x
p . Calculer de deux façons f
(1).
4) Calculer de deux façons
1
0
f (t)dt
n
p=0
1
p+1
n
p
=
2
n +1 − 1
n +1
16 1) Écrire les expressions àl’aide de factorielles et simplifier.
2) Dénombrerd edeux façons les couples (X , Y )departies d’un
ensemble E de cardinal n telles que:X ⊂ Y,Card X = k,
Card Y = p.
3) Développer ((a + b)+c)
n et (a +( b+c))
n , et comparer les
coefficients de a
k b
p−k c
n−p .
17 Trois méthodes possibles (cf. Application 5) :
–par récurrence ;
–e nd énombrant de deux façons les parties à k éléments d’un
ensemble de cardinal (n + p);
–e ni dentifiant les coefficients de x
k dans( 1+x )
n + p
et
(1 + x)
n (1 + x)
p .
Avec n = p = k , on obtient:
n
i = 0
n
i
2 =
2 n
n
.
18 (1 + i)
4n =
2n
p=0
4n
2p
(−1)
p + i
2n−1
p=0
4n
2p+1
(−1)
p
Calculer directement (1 + i)
4n et identifier les parties réelles et les
partiesimaginaires.
2n
p=0
4n
2p
(−1)
p = (−4)
n
2n−1
p=0
4n
2p+1
(−1)
p = 0
19 D’une part :
(cos ϕ + i sin ϕ)
2n = e
2i(3k+1)
π
3 = e
2i
π
3 = −
1
2
+ i
√
3
2
D’autrepart,
(cos ϕ + i sin ϕ)
2n =
2n
k=0
2n
k
1
2
2n−k √
3
2
k
i
k
Identifier les parties imaginaires.
20 Soit p un entier inférieur ou égalàn;d ésignons par Mn,p
le nombre de motsdeplettres que l’on peut former sans utiliser
deux fois la même lettre.Pour spécifier un tel mot, il faut choisir
p lettres parmi n,etles ordonner, d’où :
Mn,p =
n
p
p! =
n!
(n − p)!
On aalors : Mn =
n
p=1
Mn,p = n!
n
p=1
1
(n − p)!
= n!
n
p=0
1
p!
−1.
Les suites (un)et(vn)définies par:un =
n
p = 0
1
p!
et vn = un +
1
n!
sont adjacentes ;e lles convergent donc vers un même réel, qui
d’après la formule de Taylor n’est autre que e. On adonc bien :
∀n ∈ N
∗
n
p=0
1
p!
< e <
n
p=0
1
p!
+
1
n!
d’où : Mn +1
Chapitre 10
1 a) Faux ;0−2 =2. b) Faux ;2n’est pasinversible dans N.
c) Faux ; −2 ∈ N. d) Faux en général, sauf lorsque ce morphisme
est injectif. e) Faux;0n’est pasrégulier pour la multiplication. f)
Faux ;0n’est pasinversible. g) Vrai. h) Vrai. i) Faux. j) Vrai. k)
Faux ;ils ont un diviseur commun, qui est1(c’estleseul).
2 ∩ est une l.c.i. dans P(E), commutative, associative. E est
élémentneutre ;aucun élément autre que E n’a de symétrique.
• ∪ estu ne l.c.i. dans P(E), commutative, associative. ∅ est
élémentneutre ;aucun élément autre que ∅ n’a de symétrique.
• estune l.c.i. dans P(E), commutative, associative. ∅ estélément neutre ;tout élément A de P(E)est son propre symétrique.
3 1) Choisir (x, y, u, v) = (e, f , f , e).
2) Choisir (x, y, u, v) = (x, e, e, z).
3) Choisir (x, y, u, v) = (x, y, e, z),
puis(x,y,u,v)=(e,y,z,e).
4 Ceci permet de transférer certaines structures d’un ensemble F àl’ensemble des applications d’un ensemble quelconque
dans F .
Exemple :L’ensemble des suites numériques et l’ensemble des fonctions numériques sont, comme R, des anneaux commutatifs.
Attention :Lastructure de corps ne se transmet pas, carilpeut y
avoird’autres éléments quel’élément nul qui n’ont pas d’inverse.
5 1) Il s’agit bien d’une loi interne dans R ;elle est commutative, associative. 0est élément neutre, mais 1n’a pasdesymétrique :
(R, ∗)n’est pas un groupe.
2) Avant de conclure trop rapidement, vérifier soigneusement que
R\{1} eststable par ∗ ;lal.c.i. induite est encore associative, d’élément neutre 0, et tout élément a de R\{1} possède un inverse
a
a − 1
quiappartient aussi à R\{1}.
(R\{1}, ∗)est un groupe abélien.
6 Il s’agit bien d’une loi internedans R
2 . Vérifier soigneusementl ’associativité. (0, 0) esté lément neutre. Tout couple (x, y)
admet pour symétriquel ec ouple (−x, −y). (R
2 , ∗)e st bien un
groupe ;iln’est pas abélien (essayer).
7 Utiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
8 Réutiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
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