Solutions
SOLUTIONS
11
9 Réutiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
(Attention : Ce théorème fait partie de ceux qu’on utilise le plus
souvent dans les concours.)
10 Construire la table de (G, o):
o f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6
f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6
f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4
f 3 f 3 f 4 f 6 f 5 f 2 f 1
f 4 f 4 f 3 f 2 f 1 f 6 f 5
f 5 f 5 f 6 f 4 f 3 f 1 f 2
f 6 f 6 f 5 f 1 f 2 f 4 f 3
Gest non vide, stable par composition des applications et il
contient lesi nverses de sesé léments :c ’est un sous-groupe du
groupe des bijections de R\{0, 1} dans lui-même.
Sous-groupes de G àunélément : {f1} ;àdeux éléments : {f1, f2},
{f1, f 4 }, {f1, f5} ;àtroiséléments: {f1,f3,f 6 }.Tout sous-groupe
de G contenant au moins quatre éléments est G tout entier.
Le sous-groupeengendré par f2 est {f1, f2} ;celui qui est engendré
par f3 est {f1, f3, f 6 }, et le sous-groupe engendré par {f2, f3} est
G.
11 Démonstrationcomplète pour l’image directe :
Soit H un sous-groupe de G, et H
= f (H ).
1) e
= f (e)et e ∈ H,donc e
∈ H
. H
n’est, par conséquent,
pas vide.
2) Soit (y, z) ∈ H
;i le xiste (x, t) ∈ H telq ue y = f (x)e t
z=f( t ) . yz = f (xt)etxt ∈ H , donc yz ∈ H
. H
est, par
conséquent,stable par la l.c.i. de G
.
3) Soit y ∈ H
. Il existe x ∈ H tel que y = f (x). On sait que
y
−1 = f (x
−1 )etque x
−1 ∈ H ;onendéduit que y ∈ H
. H
contient donc lesinverses de seséléments.
H
est bien un sous-groupe de G
.
Même méthodepour l’image réciproque d’un sous-groupe de G
.
• Attention:surtout ne pasparler d’une application f
−1 !Onn’a
pas supposé f bijective.
On retrouve lesr ésultats du cours pour Im f = f (G)e t
Ker f = f
−1 ({e
}).
12 L’application x →
3
√ x est un isomorphisme de (R, +) dans
(R, ∗).
13 1) Montrer d’abord que f est un morphisme de G dans
G, puis qu’ile st bijectif (chercher les antécédents d’un élément
donné).
2) Il s’agit de montrer que:
∀(a,a
)∈G
2
fa◦f a =f aa .
Comparer pour tout x de G, fa ◦ f a (x)etf aa (x).
Ker ϕ est l’ensemble des éléments a de G tels que fa = IdG.
Montrerque c’est le centre du groupe G (cf. exercice 7).
Im ϕ est l’ensemble des automorphismes de G de la forme fa :par
définition,c’est Int G.
3) Int G est l’image d’un morphisme ;c’est donc un sous-groupe
de Aut G.
14 1) En supposant que (xy)
n = 0, multiplier àdroite par x et
àgauche par y.
2) Si x
n = 0,y
p =0e txy = yx,alors (xy)
n = x
n y
n = 0.
(x + y)
n+p =
n+p
k=0
n
k
x
k y
n+p−k
Montrer quetous les termes de cette somme sont nuls (distinguer
suivant que k < n ou k n).
3) Soit x un élément tel que x
n = 0. Calculer (1 − x)
n−1
k=0
x
k .
15 1) ∀x ∈ A (x + x)
2 = x + x.Développer et simplifier pour
aboutiràx+x=0.
2) ∀x ∈ A (x + y)
2 = x + y.D évelopper et simplifier pour
aboutiràxy + yx = 0. En déduireque xy = yx.
16 (a, b) = (3 983,48).
17 Écrire :
a = (a − b)q1 + r1 avec 0 r1 < a − b
b = (a − b)q2 + r2 avec 0 r2 < a − b
En déduire:
r1=r2 et q1 = q2 +1.
18 a − 1 = bq + r avec0 r < b
d’où
ab
n − 1 = b
n+1 q + rb
n + b
n − 1
Vérifier que rb
n + b
n − 1 < b
n+1 ,etconclure.
19 Soit an l’entier qui s’écrit en base 10 avec n chiffres 1. Si n
est pair, an est divisible par 11. Si n est divisiblepar 3, an est aussi
divisiblepar 3. Ainsi, a3, a 4 et a 6 ne sont pas premiers. On vérifie
que a5 est divisible par 41, et a7 par 239.A insi, le seul nombre
premier dans les entiers donnés est 11.
(Le nombre premier suivant de cette suite est a19...)
20 Pour tout k ∈ [[ 2 , n ]] , n !+kest divisible par k,donciln’est
pasp remier. Quel ques oit l’entier n 2, aucund es n entiers
successifs àpartir de (n +1)! +2n’est premier. Il yadonc, entre
deux nombresp remiers, des «trous »a ussi grands que l’on veut.
La première occurence de cinq entiers consécutifs non premiers
est 24, 25, 26, 27, 28.
21 Soit (x, y) ∈ G
2 .(xy)
n = xy(xy)
n−1 = xyx
n−1 y
n−1 = x
n y
n .
En simplifiantàgauche par x et àdroite par y
n−1 : yx
n−1 = x
n−1 y.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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9 Réutiliser le théorème de caractérisation d’un sous-groupe.
(Attention : Ce théorème fait partie de ceux qu’on utilise le plus
souvent dans les concours.)
10 Construire la table de (G, o):
o f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6
f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6
f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4
f 3 f 3 f 4 f 6 f 5 f 2 f 1
f 4 f 4 f 3 f 2 f 1 f 6 f 5
f 5 f 5 f 6 f 4 f 3 f 1 f 2
f 6 f 6 f 5 f 1 f 2 f 4 f 3
Gest non vide, stable par composition des applications et il
contient lesi nverses de sesé léments :c ’est un sous-groupe du
groupe des bijections de R\{0, 1} dans lui-même.
Sous-groupes de G àunélément : {f1} ;àdeux éléments : {f1, f2},
{f1, f 4 }, {f1, f5} ;àtroiséléments: {f1,f3,f 6 }.Tout sous-groupe
de G contenant au moins quatre éléments est G tout entier.
Le sous-groupeengendré par f2 est {f1, f2} ;celui qui est engendré
par f3 est {f1, f3, f 6 }, et le sous-groupe engendré par {f2, f3} est
G.
11 Démonstrationcomplète pour l’image directe :
Soit H un sous-groupe de G, et H
= f (H ).
1) e
= f (e)et e ∈ H,donc e
∈ H
. H
n’est, par conséquent,
pas vide.
2) Soit (y, z) ∈ H
;i le xiste (x, t) ∈ H telq ue y = f (x)e t
z=f( t ) . yz = f (xt)etxt ∈ H , donc yz ∈ H
. H
est, par
conséquent,stable par la l.c.i. de G
.
3) Soit y ∈ H
. Il existe x ∈ H tel que y = f (x). On sait que
y
−1 = f (x
−1 )etque x
−1 ∈ H ;onendéduit que y ∈ H
. H
contient donc lesinverses de seséléments.
H
est bien un sous-groupe de G
.
Même méthodepour l’image réciproque d’un sous-groupe de G
.
• Attention:surtout ne pasparler d’une application f
−1 !Onn’a
pas supposé f bijective.
On retrouve lesr ésultats du cours pour Im f = f (G)e t
Ker f = f
−1 ({e
}).
12 L’application x →
3
√ x est un isomorphisme de (R, +) dans
(R, ∗).
13 1) Montrer d’abord que f est un morphisme de G dans
G, puis qu’ile st bijectif (chercher les antécédents d’un élément
donné).
2) Il s’agit de montrer que:
∀(a,a
)∈G
2
fa◦f a =f aa .
Comparer pour tout x de G, fa ◦ f a (x)etf aa (x).
Ker ϕ est l’ensemble des éléments a de G tels que fa = IdG.
Montrerque c’est le centre du groupe G (cf. exercice 7).
Im ϕ est l’ensemble des automorphismes de G de la forme fa :par
définition,c’est Int G.
3) Int G est l’image d’un morphisme ;c’est donc un sous-groupe
de Aut G.
14 1) En supposant que (xy)
n = 0, multiplier àdroite par x et
àgauche par y.
2) Si x
n = 0,y
p =0e txy = yx,alors (xy)
n = x
n y
n = 0.
(x + y)
n+p =
n+p
k=0
n
k
x
k y
n+p−k
Montrer quetous les termes de cette somme sont nuls (distinguer
suivant que k < n ou k n).
3) Soit x un élément tel que x
n = 0. Calculer (1 − x)
n−1
k=0
x
k .
15 1) ∀x ∈ A (x + x)
2 = x + x.Développer et simplifier pour
aboutiràx+x=0.
2) ∀x ∈ A (x + y)
2 = x + y.D évelopper et simplifier pour
aboutiràxy + yx = 0. En déduireque xy = yx.
16 (a, b) = (3 983,48).
17 Écrire :
a = (a − b)q1 + r1 avec 0 r1 < a − b
b = (a − b)q2 + r2 avec 0 r2 < a − b
En déduire:
r1=r2 et q1 = q2 +1.
18 a − 1 = bq + r avec0 r < b
d’où
ab
n − 1 = b
n+1 q + rb
n + b
n − 1
Vérifier que rb
n + b
n − 1 < b
n+1 ,etconclure.
19 Soit an l’entier qui s’écrit en base 10 avec n chiffres 1. Si n
est pair, an est divisible par 11. Si n est divisiblepar 3, an est aussi
divisiblepar 3. Ainsi, a3, a 4 et a 6 ne sont pas premiers. On vérifie
que a5 est divisible par 41, et a7 par 239.A insi, le seul nombre
premier dans les entiers donnés est 11.
(Le nombre premier suivant de cette suite est a19...)
20 Pour tout k ∈ [[ 2 , n ]] , n !+kest divisible par k,donciln’est
pasp remier. Quel ques oit l’entier n 2, aucund es n entiers
successifs àpartir de (n +1)! +2n’est premier. Il yadonc, entre
deux nombresp remiers, des «trous »a ussi grands que l’on veut.
La première occurence de cinq entiers consécutifs non premiers
est 24, 25, 26, 27, 28.
21 Soit (x, y) ∈ G
2 .(xy)
n = xy(xy)
n−1 = xyx
n−1 y
n−1 = x
n y
n .
En simplifiantàgauche par x et àdroite par y
n−1 : yx
n−1 = x
n−1 y.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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