Solutions
SOLUTIONS
9
1) Poser 3
2n − 2
n = 7k où k ∈ Z.
2) Poser 3
2n+2 +2
6 n +1 = 11k où k ∈ Z.
3) Poser 2
2
n − 6 = 10k avec k ∈ Z.
4) Écrire :
(n +1)
3 +(n+2)
3 +(n+3)
3 =(n+1)
3 +(n+2)
3 +n
3 +···
5 2) C’est une récurrence surdeux niveaux :vérifier l’inégalité pour n = 0etn=1,puis montrer queles inégalités aux rangs
n et n +1entraînent l’inégalité au rang n +2.
6 Si Card A = Card E, Card C E A = 0, donc
C E A = ∅.
Le résultat est fauxpour un ensemble infini ;ilexiste, parexemple,
des bijections de N dans Z ;enconstruire une.
7
Card (E ∪ F ∪ G) = Card E +Card F +Card G
−Card(E∩F)−Card (F ∩ G)
−Card (G ∩ E)+Card (E ∩ F ∩ G)
8 Il fautque
n
3
26
2 , soit n 16.
9 MATHS :5!; MOTO (2 O) :
4!
2!
= 12 ;
DODO (2 D, 2O):
4!
2! 2 = 6;
ANAGRAMME (2 M, 3A):
9!
2!3!
= 30 240.
10 (Pours implifier, on suppose que personne n’est né un 29
février.)
On chercheles applications de [[ 1 , n ]] dans [[ 1 , 365]]qui ne sont
pasinjectives :
p = 1 −
A
n
365
365 n
Cette probabilité ests upérieure à
1
2
àp artir de 23 personnes, et
supérieure à
9
10
àpartir de 41 personnes. Qu’en est-il dans votre
classe ?
11 Deux méthodes (cf. Application 5) :
1) Spécifier un résultat précis :
• choix d’un trinôme :
30
3
=
30!
27!3!
;
• choix successifs de dix trinômes dans un certain ordre :
30!
27!3!
×
27!
24!3!
× ···×
6!
3!3!
• on divise par 10! pour supprimer l’ordre des trinômes. Simplifier
le résultat.
2) Compter plusieurs fois chaque résultat, et corriger :
On peut constituer les trinômes àp artir d’une liste des élèves
dans un ordrequelconque, en groupant les trois premiers, les trois
suivants, etc. Il ya30! listes possibles.
Combiendelistes distinctes donneront les mêmes trinômes ?
On obtientfinalement :
30!
(3!) 10 10!
= 1208 883 745 669 600 000
façons de constituer des trinômes. Admirez votre Z qui asutrouver la meilleuresolution parmi plus d’un milliard de milliards de
possibilités...
Généralisation :
(np)!
(p!) n n!
.
12 On peut,par exemple :
1) Montrer, àl ’aide de la formule du binôme, que
n
k=0
(−1)
k
n
k
= 0e tinterpréter.
2) Montrer parr écurrence quel en ombre de parties de cardinal
pair d’un ensemble de cardinal n 1est 2
n−1 .
3) Construire une bijection entre l’ensemble des parties de cardinal pair et l’ensemble desparties de cardinal impair ;par exemple :
si la partie A contient l’élément a, on lui associe A\{a} ;sielle ne
contient pas a ,...
13 1) Choix de Y à p éléments :
n
p
. Choixd’une partie X de
Y :2
p
n
p = 0
n
p
2
p =3
n
2) Même raisonnement en remplaçant Y par C E Y :3
n .
3) Choix de Z à p éléments :
n
p
. Choix d’un couple (X , Y )de
parties de Z tel que X ⊂ Y :3
p
n
p = 0
n
p
3
p =4
n
14 1) Ces récurrences ne présentent pas de difficultés particulières.
2)
n
k=1
k(k +1)(k +2) =
n
k = 1
k
3 +3
n
k = 1
k
2 +2
n
k = 1
k
=
n(n+1)(n +2)(n +3)
4
3)
n
k=1
k(k +1)(k +2)=3!
n
k=1
k+2
3
= 6
n+3
4
(Utiliserlaformule de l’Application 6.)
15 1) Écrire p
n
p
àl’aide de factorielles et simplifier.
2)
n
p=1
p
n
p
= n
n
p=1
n−1
p−1
= n 2
n−1
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1) Poser 3
2n − 2
n = 7k où k ∈ Z.
2) Poser 3
2n+2 +2
6 n +1 = 11k où k ∈ Z.
3) Poser 2
2
n − 6 = 10k avec k ∈ Z.
4) Écrire :
(n +1)
3 +(n+2)
3 +(n+3)
3 =(n+1)
3 +(n+2)
3 +n
3 +···
5 2) C’est une récurrence surdeux niveaux :vérifier l’inégalité pour n = 0etn=1,puis montrer queles inégalités aux rangs
n et n +1entraînent l’inégalité au rang n +2.
6 Si Card A = Card E, Card C E A = 0, donc
C E A = ∅.
Le résultat est fauxpour un ensemble infini ;ilexiste, parexemple,
des bijections de N dans Z ;enconstruire une.
7
Card (E ∪ F ∪ G) = Card E +Card F +Card G
−Card(E∩F)−Card (F ∩ G)
−Card (G ∩ E)+Card (E ∩ F ∩ G)
8 Il fautque
n
3
26
2 , soit n 16.
9 MATHS :5!; MOTO (2 O) :
4!
2!
= 12 ;
DODO (2 D, 2O):
4!
2! 2 = 6;
ANAGRAMME (2 M, 3A):
9!
2!3!
= 30 240.
10 (Pours implifier, on suppose que personne n’est né un 29
février.)
On chercheles applications de [[ 1 , n ]] dans [[ 1 , 365]]qui ne sont
pasinjectives :
p = 1 −
A
n
365
365 n
Cette probabilité ests upérieure à
1
2
àp artir de 23 personnes, et
supérieure à
9
10
àpartir de 41 personnes. Qu’en est-il dans votre
classe ?
11 Deux méthodes (cf. Application 5) :
1) Spécifier un résultat précis :
• choix d’un trinôme :
30
3
=
30!
27!3!
;
• choix successifs de dix trinômes dans un certain ordre :
30!
27!3!
×
27!
24!3!
× ···×
6!
3!3!
• on divise par 10! pour supprimer l’ordre des trinômes. Simplifier
le résultat.
2) Compter plusieurs fois chaque résultat, et corriger :
On peut constituer les trinômes àp artir d’une liste des élèves
dans un ordrequelconque, en groupant les trois premiers, les trois
suivants, etc. Il ya30! listes possibles.
Combiendelistes distinctes donneront les mêmes trinômes ?
On obtientfinalement :
30!
(3!) 10 10!
= 1208 883 745 669 600 000
façons de constituer des trinômes. Admirez votre Z qui asutrouver la meilleuresolution parmi plus d’un milliard de milliards de
possibilités...
Généralisation :
(np)!
(p!) n n!
.
12 On peut,par exemple :
1) Montrer, àl ’aide de la formule du binôme, que
n
k=0
(−1)
k
n
k
= 0e tinterpréter.
2) Montrer parr écurrence quel en ombre de parties de cardinal
pair d’un ensemble de cardinal n 1est 2
n−1 .
3) Construire une bijection entre l’ensemble des parties de cardinal pair et l’ensemble desparties de cardinal impair ;par exemple :
si la partie A contient l’élément a, on lui associe A\{a} ;sielle ne
contient pas a ,...
13 1) Choix de Y à p éléments :
n
p
. Choixd’une partie X de
Y :2
p
n
p = 0
n
p
2
p =3
n
2) Même raisonnement en remplaçant Y par C E Y :3
n .
3) Choix de Z à p éléments :
n
p
. Choix d’un couple (X , Y )de
parties de Z tel que X ⊂ Y :3
p
n
p = 0
n
p
3
p =4
n
14 1) Ces récurrences ne présentent pas de difficultés particulières.
2)
n
k=1
k(k +1)(k +2) =
n
k = 1
k
3 +3
n
k = 1
k
2 +2
n
k = 1
k
=
n(n+1)(n +2)(n +3)
4
3)
n
k=1
k(k +1)(k +2)=3!
n
k=1
k+2
3
= 6
n+3
4
(Utiliserlaformule de l’Application 6.)
15 1) Écrire p
n
p
àl’aide de factorielles et simplifier.
2)
n
p=1
p
n
p
= n
n
p=1
n−1
p−1
= n 2
n−1
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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