SOLUTIONS
9
Solutions
6 On suppose A∩B = A∩C. Soit x ∈ A∩C E B ; x appartient
à A. Peut-il apparteniràC ?Endéduireque A∩C E B ⊂ A∩C E C,
puis l’inclusion dans l’autre sens.L’implication réciproque s’obtient en remplaçant B et C par leurs complémentaires.
7 On suppose A B = A C ;soit x ∈ B. En distinguant
suivantq ue x ∈ A ou x
∈ A, montrerq ue dans les deux cas
x ∈ C ;d’où B ⊂ C. B et C jouent le mêmerôle, donc C ⊂ B.
8 On supposeq u’il existe une surjection f de E sur P(E).
La partie A = {x ∈ E , x ∈ f (x)} aurait un antécédent a par f ,
c’est-à-dire un élément a ∈ E telq ue f (a) = A. Démontrer que
a ∈ A ⇐⇒ a ∈ A... (comparer avec le paradoxe de Russel).
9 Montrerd’abord que g est bijective, puis exprimer f et h à
l’aide de g
−1 .
10 1) Montrer que g est bijective et exprimer f àl’aide de g
−1 .
2) Montrer que f est bijective et exprimer g àl’aide de f
−1 .
11 1) On suppose f injective. Soit (g, h) ∈ (F
E )
2 tel que
f ◦ g = f ◦ h ;pour tout x ∈ E, f ◦ g (x) = f ◦ h (x) , d’où...
Réciproquement, on suppose que :
∀(g, h) ∈ (F
E )
2
f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h,
et on veut montrerque f estinjective. Soit y et y
deux éléments
de F tels que f (y) = f (y
). Considérer les applications constantes
de E dans F : x → y et x → y
;l eur appliquer l’hypothèse et
démontrerque y = y
.
2) On suppose f surjective.S oit (j, k) ∈ (H
G )
2 tel que
j ◦ f = k ◦ f , on veut montrer quepour tout z ∈ G, j(z) = k(z).
Utiliser pourcela un antécédent de z par f .
Réciproquement, on suppose que :
∀(j, k) ∈ (H
G )
2
j ◦ f = k ◦ f ⇒ j = k,
et on veut montrerq ue f est surjective. Soit z ∈ G. Construire
deuxa pplications j et k de G dans H qui coïncident pour tout
élément, sauf z àqui elles attribuent deux images différentes (c’est
possible grâceaufait que H aaumoins deux éléments). Montrer
quesizn’avait pasd’antécédent par f , on aurait j ◦ f = k ◦ f , et
conclure.
12 Tout esttrès facile, si on se souvient que:
x∈f
− 1 (B) ⇐⇒ f ( x ) ∈ B .
13 Contrairementaux apparences, cetexercice est moins facile
queleprécédent.
1) Supposer que A ⊂ A
et considérer un élément y ∈ f (A)...
2) Utiliser lesi nclusions A ∩ A
⊂ A et A ∩ A
⊂ A
pour
montrerque f (A ∩ A
) ⊂ f (A) ∩ f (A
). L’inclusionréciproque
n’est pastoujours vraie.
Exemple :
f :
R → R
x
→ x
2 , A = [0, 1], A
= [−1, 0].
3) De même, utiliser les inclusions
A ⊂ A ∪ A
et A
⊂ A ∪ A
pour montrerque
f (A) ∪ f (A
) ⊂ f (A ∪ A
).
Réciproquement, soit y ∈ f (A ∪ A
);montrer que
y ∈ f (A) ∪ f (A
).
4) Il n’y aaucune inclusion apriori entre f (C E A)etC F f(A).
Exemple :lemême que ci-dessus.
14 La réflexivité est évidente.A ntisymétrie :m ontrer que
OO
R
− R et OO
R − R
implique O = O
et R = R
. Pour la transitivité,u tiliser l’inégalité triangulaire :
OO
OO
+ O
O
.
15 1) On montre sans difficulté la réflexivité et la transitivité.
Antisymétrie :soit (p, q) ∈ N
∗2 ;onsuppose qu’il existe (n, m) ∈
N
∗2 telq ue p
n = q et q
m = p. On en déduit que p
mn = p.
Montrer que p = 1oumn = 1etque, dans les deux cas, p = q. Il
s’agit bien d’unerelation d’ordre. L’ordre est partiel :aucune des
relations 2R3ou3R2n’estvraie.
2) Montrer qu’un majorant de {2, 3} devraitêtre àlafois pair et
impair.
16 1) On suppose f croissante et injective. Soit (x, y) ∈ E
2 tel
que x < y. On sait que f (x) f (y). Peut-onavoir f (x) = f (y)?
2) On suppose f strictementc roissante. Soit (x, y) ∈ E
2 tel que
f (x) = f (y). Si l’ordre de E estt otal, on an écessairement x < y
ou x = y ou x > y.Montrer que deux de cescas aboutissent àune
contradiction.
Contre-exemple :
P(E) →
f
N
X
→ Card X
où E est un ensemblefini, et P(E)ordonné par inclusion.
Chapitre 9
1 a) Faux, il faut supposer que P(0) estv raie. b) Vrai.
c) Faux. d) Faux ;c ’est vrai si l’ensemble est fini. e) Faux ;i l
faut que les deux ensembles soient disjoints. f) Vrai. g) Vrai. h)
Faux. i) Vrai. j) Vrai;formule du binôme avec a = 1, b = −2.
2 Récurrence immédiate ;n ep as oublier de vérifier la propriété pour n = 1.
3 Idem.
4 Récurrences.
552
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6 On suppose A∩B = A∩C. Soit x ∈ A∩C E B ; x appartient
à A. Peut-il apparteniràC ?Endéduireque A∩C E B ⊂ A∩C E C,
puis l’inclusion dans l’autre sens.L’implication réciproque s’obtient en remplaçant B et C par leurs complémentaires.
7 On suppose A B = A C ;soit x ∈ B. En distinguant
suivantq ue x ∈ A ou x
∈ A, montrerq ue dans les deux cas
x ∈ C ;d’où B ⊂ C. B et C jouent le mêmerôle, donc C ⊂ B.
8 On supposeq u’il existe une surjection f de E sur P(E).
La partie A = {x ∈ E , x ∈ f (x)} aurait un antécédent a par f ,
c’est-à-dire un élément a ∈ E telq ue f (a) = A. Démontrer que
a ∈ A ⇐⇒ a ∈ A... (comparer avec le paradoxe de Russel).
9 Montrerd’abord que g est bijective, puis exprimer f et h à
l’aide de g
−1 .
10 1) Montrer que g est bijective et exprimer f àl’aide de g
−1 .
2) Montrer que f est bijective et exprimer g àl’aide de f
−1 .
11 1) On suppose f injective. Soit (g, h) ∈ (F
E )
2 tel que
f ◦ g = f ◦ h ;pour tout x ∈ E, f ◦ g (x) = f ◦ h (x) , d’où...
Réciproquement, on suppose que :
∀(g, h) ∈ (F
E )
2
f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h,
et on veut montrerque f estinjective. Soit y et y
deux éléments
de F tels que f (y) = f (y
). Considérer les applications constantes
de E dans F : x → y et x → y
;l eur appliquer l’hypothèse et
démontrerque y = y
.
2) On suppose f surjective.S oit (j, k) ∈ (H
G )
2 tel que
j ◦ f = k ◦ f , on veut montrer quepour tout z ∈ G, j(z) = k(z).
Utiliser pourcela un antécédent de z par f .
Réciproquement, on suppose que :
∀(j, k) ∈ (H
G )
2
j ◦ f = k ◦ f ⇒ j = k,
et on veut montrerq ue f est surjective. Soit z ∈ G. Construire
deuxa pplications j et k de G dans H qui coïncident pour tout
élément, sauf z àqui elles attribuent deux images différentes (c’est
possible grâceaufait que H aaumoins deux éléments). Montrer
quesizn’avait pasd’antécédent par f , on aurait j ◦ f = k ◦ f , et
conclure.
12 Tout esttrès facile, si on se souvient que:
x∈f
− 1 (B) ⇐⇒ f ( x ) ∈ B .
13 Contrairementaux apparences, cetexercice est moins facile
queleprécédent.
1) Supposer que A ⊂ A
et considérer un élément y ∈ f (A)...
2) Utiliser lesi nclusions A ∩ A
⊂ A et A ∩ A
⊂ A
pour
montrerque f (A ∩ A
) ⊂ f (A) ∩ f (A
). L’inclusionréciproque
n’est pastoujours vraie.
Exemple :
f :
R → R
x
→ x
2 , A = [0, 1], A
= [−1, 0].
3) De même, utiliser les inclusions
A ⊂ A ∪ A
et A
⊂ A ∪ A
pour montrerque
f (A) ∪ f (A
) ⊂ f (A ∪ A
).
Réciproquement, soit y ∈ f (A ∪ A
);montrer que
y ∈ f (A) ∪ f (A
).
4) Il n’y aaucune inclusion apriori entre f (C E A)etC F f(A).
Exemple :lemême que ci-dessus.
14 La réflexivité est évidente.A ntisymétrie :m ontrer que
OO
R
− R et OO
R − R
implique O = O
et R = R
. Pour la transitivité,u tiliser l’inégalité triangulaire :
OO
OO
+ O
O
.
15 1) On montre sans difficulté la réflexivité et la transitivité.
Antisymétrie :soit (p, q) ∈ N
∗2 ;onsuppose qu’il existe (n, m) ∈
N
∗2 telq ue p
n = q et q
m = p. On en déduit que p
mn = p.
Montrer que p = 1oumn = 1etque, dans les deux cas, p = q. Il
s’agit bien d’unerelation d’ordre. L’ordre est partiel :aucune des
relations 2R3ou3R2n’estvraie.
2) Montrer qu’un majorant de {2, 3} devraitêtre àlafois pair et
impair.
16 1) On suppose f croissante et injective. Soit (x, y) ∈ E
2 tel
que x < y. On sait que f (x) f (y). Peut-onavoir f (x) = f (y)?
2) On suppose f strictementc roissante. Soit (x, y) ∈ E
2 tel que
f (x) = f (y). Si l’ordre de E estt otal, on an écessairement x < y
ou x = y ou x > y.Montrer que deux de cescas aboutissent àune
contradiction.
Contre-exemple :
P(E) →
f
N
X
→ Card X
où E est un ensemblefini, et P(E)ordonné par inclusion.
Chapitre 9
1 a) Faux, il faut supposer que P(0) estv raie. b) Vrai.
c) Faux. d) Faux ;c ’est vrai si l’ensemble est fini. e) Faux ;i l
faut que les deux ensembles soient disjoints. f) Vrai. g) Vrai. h)
Faux. i) Vrai. j) Vrai;formule du binôme avec a = 1, b = −2.
2 Récurrence immédiate ;n ep as oublier de vérifier la propriété pour n = 1.
3 Idem.
4 Récurrences.
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