Solutions
SOLUTIONS
8
Soit O le milieu de [A1A2].
Soit M1 ∈ D1 :
−− −→
A 1 M 1 = x 1 u 1 et M2 ∈ D2 :
−− −→
A 2 M 2 = x 2 u 2 .
A 1
A 2
I
→
u 2 M 2
M 1
→ u 1
D 2
D 1
O
Soit I le milieu de [M1M2]:
−→
OI =
1
2
(
−−→
OM1 +
−−→
OM2) =
1
2
(
−− −→
A 1 M 1 +
−− −→
A 2 M 2 )
=
1
2
( x 1 u 1 + x 2 u 2 )
Lorsque (x1, x2)décrit R
2 , le point I décrit le plan passantpar O
et dirigé parles vecteurs u1,, u2.
2) Le point A doit appartenir àt rois plans, respectivement parallèles à( D 1 ,D 2 ) ,( D 2 ,D 3 )e t( D 3 ,D 1 ) .Ces trois plans n’ont
aucune direction de droite en commun, leur intersection est donc
un singleton.
13 Pour tout t ∈ ] − π, π], le point M (t)appartient au plan P
d’équation x +y +z = 3etàlasphère S d’équation x
2 +y
2 +z
2 = 9,
de centre O et de rayon R = 3. M (t)a ppartient donc au cercle
C = P ∩ S, dontlecentre est le projeté orthogonal de O sur P,
c’est-à-dire H = (1, 1, 1), et le rayon r =
R 2 − OH 2 =
√ 6.
Comme M (π) = M (−π)etque le vecteur vitesse du point M (t)
ne s’annule jamais, le cercle estdécrit en entier.
14 La sphère circonscrite à OABC apour centre Ω
a
2
,
b
2
,
c
2
et pour rayon R =
1
2
√ a 2 + b 2 + c 2 .
Le rayon du cercle circonscrit à ABC est donc :
r =
R 2 − d (Ω, P) 2 ,
où P est le plan (ABC), d’équation
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
On obtient :
r =
1
2
(a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 )
a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
A
R
r
Ω
I
O
B
C
Chapitre 8
1 a) Vrai ;p uisque R
∗
+ ∩ R
∗
−
= ∅ . b) Vrai ;
une proposition fausse implique n’importe quoi... c) Faux ;
ces deux implications sont équivalentes. d) Vrai. e) Faux.
f) Vrai. g) Faux ;e xemple:o np eut prendrep our g l’application de N dans N : n → 2n et pour f , l’applicationd eNdans
N : n → E(
n
2
)(où E(x)désigne la partie entière de x). h) Faux ;
le matin vous mettez vos chaussettes avant vos chaussures ;lesoir,
dansquel ordre procédez-vous pour les enlever ? i) Faux ; f (x)peut
avoir un antécédent dans A, autre que x. j) Vrai. k) Faux ;elle n’est
pas antisymétrique.
2 P1 ⇐⇒ ( ∀ n ∈ Z ∃ p ∈ Z n < p ): vrai (p = n +1).
P2 ⇐⇒ ( ∃ n ∈ Z ∀ p ∈ Z ∃ q ∈ Z n = pq ): vrai (n = 0).
P3 ⇐⇒ ( ∀ x ∈ R ∃ y ∈ R x = y
2 ): faux (si x < 0).
P 4 ⇐⇒ ( ∃ x ∈ R ∀ p ∈ Z ∀ q ∈ Z
∗ qx = p ): vrai (x =
√ 2).
P5 ⇐⇒ ( ∃ x ∈ R x > x
2 ): vrai (x =
1
2
).
P 6 ⇐⇒ ( ∀ ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 ∃ ( i , j ) ∈{1,2,3}
2 i =jet xixj 0):
vrai (il n’y aque deux signes possibles...).
3 ∃x ∈ R
∗ ∀y ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀y ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀z ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ ∀y ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀y ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ z = xy :v rai( x =
z
y
) .
4 1) A\B = A ∩ C E B = C E B\C E A.
2) A\(B ∩ C) = A ∩ C E (B ∩ C) = A ∩
C E B ∪ C E C
=
A ∩ C E B
∪
A ∩ C E C
= (A\B) ∪ (A\C).
3) A\(B ∪ C) = A ∩ C E (B ∪ C) = A ∩ C E B ∩ C E C
= (A\B) ∩ (A\C).
5 On suppose (A ∩ B ⊂ A ∩ C)e t( A ∪ B⊂A ∪ C ) .
Soit x ∈ B. En distinguantsuivant que x ∈ A ou x
∈ A, montrer
quedans les deux cas x ∈ C.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
551
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Soit O le milieu de [A1A2].
Soit M1 ∈ D1 :
−− −→
A 1 M 1 = x 1 u 1 et M2 ∈ D2 :
−− −→
A 2 M 2 = x 2 u 2 .
A 1
A 2
I
→
u 2 M 2
M 1
→ u 1
D 2
D 1
O
Soit I le milieu de [M1M2]:
−→
OI =
1
2
(
−−→
OM1 +
−−→
OM2) =
1
2
(
−− −→
A 1 M 1 +
−− −→
A 2 M 2 )
=
1
2
( x 1 u 1 + x 2 u 2 )
Lorsque (x1, x2)décrit R
2 , le point I décrit le plan passantpar O
et dirigé parles vecteurs u1,, u2.
2) Le point A doit appartenir àt rois plans, respectivement parallèles à( D 1 ,D 2 ) ,( D 2 ,D 3 )e t( D 3 ,D 1 ) .Ces trois plans n’ont
aucune direction de droite en commun, leur intersection est donc
un singleton.
13 Pour tout t ∈ ] − π, π], le point M (t)appartient au plan P
d’équation x +y +z = 3etàlasphère S d’équation x
2 +y
2 +z
2 = 9,
de centre O et de rayon R = 3. M (t)a ppartient donc au cercle
C = P ∩ S, dontlecentre est le projeté orthogonal de O sur P,
c’est-à-dire H = (1, 1, 1), et le rayon r =
R 2 − OH 2 =
√ 6.
Comme M (π) = M (−π)etque le vecteur vitesse du point M (t)
ne s’annule jamais, le cercle estdécrit en entier.
14 La sphère circonscrite à OABC apour centre Ω
a
2
,
b
2
,
c
2
et pour rayon R =
1
2
√ a 2 + b 2 + c 2 .
Le rayon du cercle circonscrit à ABC est donc :
r =
R 2 − d (Ω, P) 2 ,
où P est le plan (ABC), d’équation
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
On obtient :
r =
1
2
(a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 )
a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
A
R
r
Ω
I
O
B
C
Chapitre 8
1 a) Vrai ;p uisque R
∗
+ ∩ R
∗
−
= ∅ . b) Vrai ;
une proposition fausse implique n’importe quoi... c) Faux ;
ces deux implications sont équivalentes. d) Vrai. e) Faux.
f) Vrai. g) Faux ;e xemple:o np eut prendrep our g l’application de N dans N : n → 2n et pour f , l’applicationd eNdans
N : n → E(
n
2
)(où E(x)désigne la partie entière de x). h) Faux ;
le matin vous mettez vos chaussettes avant vos chaussures ;lesoir,
dansquel ordre procédez-vous pour les enlever ? i) Faux ; f (x)peut
avoir un antécédent dans A, autre que x. j) Vrai. k) Faux ;elle n’est
pas antisymétrique.
2 P1 ⇐⇒ ( ∀ n ∈ Z ∃ p ∈ Z n < p ): vrai (p = n +1).
P2 ⇐⇒ ( ∃ n ∈ Z ∀ p ∈ Z ∃ q ∈ Z n = pq ): vrai (n = 0).
P3 ⇐⇒ ( ∀ x ∈ R ∃ y ∈ R x = y
2 ): faux (si x < 0).
P 4 ⇐⇒ ( ∃ x ∈ R ∀ p ∈ Z ∀ q ∈ Z
∗ qx = p ): vrai (x =
√ 2).
P5 ⇐⇒ ( ∃ x ∈ R x > x
2 ): vrai (x =
1
2
).
P 6 ⇐⇒ ( ∀ ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 ∃ ( i , j ) ∈{1,2,3}
2 i =jet xixj 0):
vrai (il n’y aque deux signes possibles...).
3 ∃x ∈ R
∗ ∀y ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀y ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀z ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ ∀y ∈ R
∗ z = xy :f aux.
∀y ∈ R
∗ ∀z ∈ R
∗ ∃x ∈ R
∗ z = xy :v rai( x =
z
y
) .
4 1) A\B = A ∩ C E B = C E B\C E A.
2) A\(B ∩ C) = A ∩ C E (B ∩ C) = A ∩
C E B ∪ C E C
=
A ∩ C E B
∪
A ∩ C E C
= (A\B) ∪ (A\C).
3) A\(B ∪ C) = A ∩ C E (B ∪ C) = A ∩ C E B ∩ C E C
= (A\B) ∩ (A\C).
5 On suppose (A ∩ B ⊂ A ∩ C)e t( A ∪ B⊂A ∪ C ) .
Soit x ∈ B. En distinguantsuivant que x ∈ A ou x
∈ A, montrer
quedans les deux cas x ∈ C.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
551