SOLUTIONS
5
Solutions
-2
-1
0
1
2
3
y
x
-1
1
e) (Folium de Descartes) D f = R\{−1} ;p as de symétrie ?S i,
mais elle est bien cachée :
∀t ∈ D f \{0}
1
t
∈ D f x
1
t
= y(t)
et y
1
t
= x(t)
La courbe,privée du point O,est symétrique par rapport àlapremière bissectrice. Il suffit de faire l’étude surl’intervalle ] − 1, 1].
Au voisinage de −1, asymptote oblique d’équation y = −x −
1
3
.
La courbe est au-dessus de l’asymptote.
-1
0
y
x
1
-1
-
1
1
2
1
3
1
2
f) (Courbe du bicorne) D f = R ; T = 2π ;symétrie /Oy;étude
sur
−
π
2
,
π
2
.P oint stationnaire en t = 0:r ebroussement de
première espèce,latangente estdirigée parlevecteur (−1, 1).
6 La condition de roulement sans glissement se traduit par
l’égalité des longueurs des arcs IM0
du cercle fixe et IM
du cercle
mobile.D’où (
−−→
O
I ,
−− −→
O
M ) = nt.
-1
0
1
x'
-1
1
x
nt
t
M 0
y
O’’
I
M
O ’
Les coordonnées de M sont donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(t) =
R +
R
n
cos t +
R
n
cos(t + π + nt)
=
R
n
(n +1)cos t − cos(n +1)t
y(t) =
R+
R
n
sin t +
R
n
sin(t + π + nt)
=
R
n
(n +1)sin t − sin(n +1)t
n = 1; T = 2π;s ymétrie /Ox;é tudes ur [0, π]. Points tationnaire pour t = 0:rebroussement de première espèce àtangente
horizontale.
n = 2;T = 2π;symétries /Ox et /Oy ;étudesur
0,
π
2
.Point
stationnaire pour t = 0:r ebroussement de première espèce à
tangente horizontale.
7 La même étude conduit à:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t)=
R
n
(n−1) cos t +cos(n − 1)t
y(t) =
R
n
(n − 1) sin t − sin(n − 1)t
n = 2;c’est le segment [−R, R ]sur l’axe Ox.
n = 3; T = 2π;symétrie /Ox ;étudesur [0, π]. Points stationnaires pour t = 0ett =
2π
3
:rebroussements de première espèce,
la tangente passe par l’origine.
−1
0
1 y
x
−1
1
8 a) Période π pour la fonction ρ :s ymétrie parr apport
àl ’origine. La courbe paramétrée est entièrement décrite sur un
intervalled’amplitude 2π.
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