Solutions
SOLUTIONS
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Les deuxtangentes correspondantes sont dirigées par les vecteurs :
1
4
f
(−1) = (1, −1)
et
3
4
f
1
3
= (1, 3).
3 On cherche t1 et t2 distincts tels que :
• Det(
−− −→
M 1 M 2 , f
( t 1 )) = 0 ⇐⇒ t
2
1 + t 1 t 2 − 2 t
2
2 = 0.
•
f
(t1) | f
(t2)
= 0 ⇐⇒ 1+t1t2 =0.
D’où :
(t1, t2) =
√ 2, −
√
2
2
ou (t1, t2) =
−
√ 2,
√ 2
2
.
4 Lespoints M (t1), M (t2), M (t3)sont alignés si,etseulement
si :
x(t1) x(t2) x(t3)
y(t1) y(t2) y(t3)
111
= 0
ce qui équivaut à:
(t3−t1)(t1 − t2)(t2 − t3)
t1t2 + t2t3 + t3t1 + t1t2t3 +1
=0.
La condition d’alignement de trois points de paramètres distincts
est donc :
t1t2 + t2t3 + t3t1 + t1t2t3 +1=0.
Cette relation va nous permettre de rechercher un point double :
si M (t1) = M (t2), cette condition doit être vérifiée quel quesoit
t3 :
∀t3 ∈ R
t3(t1 + t2 + t1t2)+t1t2+1=0= ⇒
t1+t2+t1t2 =0
t1t2+1=0
D’où :
{t1, t2} =
1+
√ 5
2
,
1−
√ 5
2
.
On vérifie bien que:
M
1+
√ 5
2
=M
1−
√ 5
2
=(1, 2).
Un point d’inflexion est le casl imite de trois points alignés qui
viennent se confondre en un seul. Si, dans la condition d’alignement, on fait tendre t1, t2 et t3 vers t0,onobtient : t
3
0 +3t
2
0 +1 = 0.
En étudiant les variations de la fonction t → t
3 +3t
2 +1,vous
montrerezqu’elle s’annule pour une unique valeur t0,qui appartientà[−3,2,−3].
5 a) D f = R ;s ymétrie /Oy;é tudes ur R+ .P oint stationnaire en t = 1:rebroussement de première espèce, la tangente est
dirigée par f
(1) = (−6, −8).
Au voisinage de +∞,branche parabolique de direction Oy.
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
x
y
−2
−11
2
b) (Courbe de Lissajous) D f = R ; T = 2π ;s ymétries /Ox et
/O;étudesur
0,
π
2
.L’arc est régulier.
-1
0
1
-1
1
x
y
c) D f = R ; T = 2π ;s ymétries /Ox et /Oy;é tudes ur
0,
π
2
.
L’arc estrégulier.
0
y
x
-2
2
d) D f = R ;p as de symétrie. Point stationnaire en t = 1:
rebroussement de première espèce, la tangente est dirigée par
2 f
(1) = (−1, 3). Au voisinagede±∞,asymptote x = 0.
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