Étude métrique descourbes planes
En intégrant
ds
dϕ
=
1
cos 2 ϕ
, on obtient: s=tan ϕ (à une constante près
que l’on peut annuler en choisissant l’origine de l’abscisse curviligne).
Ne pas s’encombrerd ec onstantes d’intégration qui correspondentauchoix du
repère et de l’origine des abscisses curvilignes.
On adonc :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dx
ds
= cos ϕ =
1
√ 1+s 2
dy
ds
=sin ϕ =
s
√ 1+s 2
D’où :
x = Argsh s
y =
√ 1+s 2
(à des constantes près que l’on peut annuler en choisissant l’origine du
repère).
On en déduit : y =
√ 1+sh 2 x = ch x. Il s’agit donc de la courbe
représentative de la fonction ch , àune homothétie près (choix de l’origine
et de l’unité de longueur).
0
1
2
3
4
5
−2
−11
2
533