Étude métrique descourbes planes
Exercice résolu
LA CHAÎNETTE
Quelle est la forme d’un fil pesant suspendu entre deux points (par exemple :c orde àl inge, câble électrique, etc.) ?G alilée
avait supposé àtort qu’il s’agissait d’une parabole. C’est Huyghens quirectifia cette erreur et démontra qu’il s’agissait d’une
«chaînette », courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique.
On suppose le fil homogène, de masse linéique μ, et on considère qu’il est le support d’un arc régulier de classe C
2
paramétré
par son abscisse curviligne s. On note ϕ l’angle entre l’axehorizontal et la tangente,
− →
Tl evecteur unitaire tangent, et F
la tension du filaupoint M .
1 En écrivant l’équilibredes forces s’exerçant sur un tronçon [M 1 M 2 ], démontrerque F cos ϕ = C
te
.
2 Montrer quelepoids du tronçon de fil [M 1 M 2 ] est proportionnel à tan ϕ 2 − tan ϕ 1 .
3 En déduire l’expression de la courbure du fil en fonction de ϕ.
4 Trouver unereprésentation paramétrique du fil, puis une équation cartésienne. Que reconnaît-on ?
Conseils
Solution
M 1
T 2
T 1
!
!
F 2
F 1
M 2
!
p
w 1
w 2
1) Le tronçon [M 1 M 2 ]d uf il est en équilibre sous l’action de son poids
− →
P et des tensions aux deux extrémités −F 1
− →
T 1 et F 2
− →
T 2 . La résultante
de ces forces estdonc nulle :
− →
P − F 1
− →
T 1 + F 2
− →
T 2 = 0( 1)
En projetantsur l’axe horizontal, on obtient :
−F 1 cos ϕ 1 + F 2 cos ϕ 2 = 0,
c’est-à-dire: Fcos ϕ = C , où C est une constante.
2) En projetant l’égalité (1) sur l’axe vertical, on obtient :
−F 1 sin ϕ 1 + F 2 sin ϕ 2 − P = 0
c’est-à-dire : −
C
cos ϕ 1
sin ϕ 1 +
C
cos ϕ 2
sin ϕ 2 − P = 0, soit :
P = C (tan ϕ 2 − tan ϕ 1 )
Le poids d’un tronçon de longueur ds
est μg ds.
3) On adonc
P
ϕ 2 − ϕ 1
= C
tan ϕ 2 − tan ϕ 1
ϕ 2 − ϕ 1
.
En faisanttendre ϕ 1 et ϕ 2 vers ϕ :
μg ds
dϕ
=
C
cos 2 ϕ
.
La courbure du fil en ce point est donc :
dϕ
ds
=
μg
C
cos
2 ϕ
4) Un choix convenable de l’unité de longueur permet de fixer
μg
C
= 1.
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Exercice résolu
LA CHAÎNETTE
Quelle est la forme d’un fil pesant suspendu entre deux points (par exemple :c orde àl inge, câble électrique, etc.) ?G alilée
avait supposé àtort qu’il s’agissait d’une parabole. C’est Huyghens quirectifia cette erreur et démontra qu’il s’agissait d’une
«chaînette », courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique.
On suppose le fil homogène, de masse linéique μ, et on considère qu’il est le support d’un arc régulier de classe C
2
paramétré
par son abscisse curviligne s. On note ϕ l’angle entre l’axehorizontal et la tangente,
− →
Tl evecteur unitaire tangent, et F
la tension du filaupoint M .
1 En écrivant l’équilibredes forces s’exerçant sur un tronçon [M 1 M 2 ], démontrerque F cos ϕ = C
te
.
2 Montrer quelepoids du tronçon de fil [M 1 M 2 ] est proportionnel à tan ϕ 2 − tan ϕ 1 .
3 En déduire l’expression de la courbure du fil en fonction de ϕ.
4 Trouver unereprésentation paramétrique du fil, puis une équation cartésienne. Que reconnaît-on ?
Conseils
Solution
M 1
T 2
T 1
!
!
F 2
F 1
M 2
!
p
w 1
w 2
1) Le tronçon [M 1 M 2 ]d uf il est en équilibre sous l’action de son poids
− →
P et des tensions aux deux extrémités −F 1
− →
T 1 et F 2
− →
T 2 . La résultante
de ces forces estdonc nulle :
− →
P − F 1
− →
T 1 + F 2
− →
T 2 = 0( 1)
En projetantsur l’axe horizontal, on obtient :
−F 1 cos ϕ 1 + F 2 cos ϕ 2 = 0,
c’est-à-dire: Fcos ϕ = C , où C est une constante.
2) En projetant l’égalité (1) sur l’axe vertical, on obtient :
−F 1 sin ϕ 1 + F 2 sin ϕ 2 − P = 0
c’est-à-dire : −
C
cos ϕ 1
sin ϕ 1 +
C
cos ϕ 2
sin ϕ 2 − P = 0, soit :
P = C (tan ϕ 2 − tan ϕ 1 )
Le poids d’un tronçon de longueur ds
est μg ds.
3) On adonc
P
ϕ 2 − ϕ 1
= C
tan ϕ 2 − tan ϕ 1
ϕ 2 − ϕ 1
.
En faisanttendre ϕ 1 et ϕ 2 vers ϕ :
μg ds
dϕ
=
C
cos 2 ϕ
.
La courbure du fil en ce point est donc :
dϕ
ds
=
μg
C
cos
2 ϕ
4) Un choix convenable de l’unité de longueur permet de fixer
μg
C
= 1.
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