Étude métrique descourbes planes
Cettedérivée estcontinue, donc ϕ
−1
est de classe C
1
.
On a, relativement àceparamétrage :
d
− →
T
d ϕ
=
d
− →
T
d s
d s
d ϕ
=
γ
− →
N
γ
=
− →
N
d
− →
N
d ϕ
=
d
− →
N
d s
d s
d ϕ
=
− γ
− →
T
γ
= −
− →
T
D’où :
d
− →
T
d ϕ
=
− →
N ;
d
− →
N
d ϕ
= −
− →
T
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour calculer la longueur d’un arcdecourbe paramétrée de classe C
1
:
• en coordonnées cartésiennes, on calcule :
L(t 0 , t 1 ) =
t1
t0
x (t) 2 + y (t) 2 d t( cf. exercices 2 et 3)
• en coordonnées polaires,oncalcule :
L(θ 0 , θ 1 ) =
θ1
θ0
ρ(θ) 2 + ρ (θ) 2 d θ
(cf. exercices 4 et 5)
Pour calculer la courbure d’une courbe paramétrée de classe C
2
:
• en coordonnées cartésiennes, on calcule tan ϕ =
y
x et on dérive par rapport à t ;
on en déduit
d ϕ
d s
en divisant
d ϕ
d t
par
d s
d t
, c’est-à-dire
x 2 + y 2
(cf. exercices 7 et 8) ;
• en coordonnées polaires, on calcule tan V =
ρ
ρ et on dérive parrapport à θ ;
on en déduit
d ϕ
d θ
= 1+
dV
dθ
,puis
d ϕ
d s
en divisant
d ϕ
d θ
par
d s
d θ
,
c’est-à-dire
ρ 2 + ρ 2 (cf. exercice 6).
...................................................................................................................................................................................................
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