COURS 30
Étude métrique descourbes planes
Programme donnantl ac ourbure d’un arc défini paru ne
équation polaire.
Exemple:Calculons la courbure en un point régulier de la cardioïde définiepar ρ = 1+cos θ.
tan V =
ρ
ρ =
1+cos θ
− sin θ
= − cot
θ
2
d’où :
V =
θ
2
−
π
2
+ kπ
dV
dθ
=
1
2
;
dϕ
dθ
=
3
2
;
ds
dθ
=
(1 +cos θ) 2 +sin 2 θ = 2| cos
θ
2
|
D’où:
γ=
3
4|cos
θ
2
|
Pour s’entraîner:ex. 6
APPLICATION 1
Caractériser les courbes planes àcourbure constante
Soit C un arcp lan de classe C
2
de courbure
constante K .
dϕ
ds
= K =⇒ ϕ = Ks + ϕ 0
Quitte àe ffectuer une rotation du repère, on peut
choisir ϕ 0 = 0. On aalors :
T = f
(s) = cos(Ks) i +sin(Ks) j
En intégrantencore une fois, on obtient :
• si K
= 0,
f (s) =
1
K
sin(Ks)+x 0
i+
−
1
K
cos(Ks)+y 0
j
On reconnaît un cercle de centre (x 0 , y 0 )d erayon
1
K
.
• si K = 0, f (s) = (s + x 0 ) i + y 0 j. C estl a
droite passant par le point (x 0 , y 0 )e tdirigée par le
vecteur i (compte tenu de la rotation du repère,
on peut en fait obtenir n’importe quelle droite).
C est donc un cercle ou une droite. Réciproquement,
il est clair que tout cercle ou toute droite ab ien une
courbure constante. On peutd onc conclure que les
courbesplanes àcourbure constante sont les cercles et
les droites (il n’en estpas de même dans l’espace...)
Pour s’entraîner :ex. 9
3.5 • Cas d’un arc birégulier
Un arc de classe C
2
est dit biréguliersitous ses points sont biréguliers, c’est-à-dire
si sa courbure ne s’annule pas. Montrons que dans ce cas, la fonction s
→ ϕ(s)
est un paramétrage admissible de classe C
1
.
En effet, ϕ est de classe C
1
;s adérivée est la courbure γ, qui est continue et qui
ne s’annule pas et qui par conséquent garde un signe constant. ϕ est donc continue
et strictement monotone, doncbijective. Sa bijection réciproque est dérivable et :
(ϕ
−1
)
=
1
γ ◦ ϕ −1
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