Étude métrique descourbes planes
COURS
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Dans le casgénéral, en dérivant parrapport à t, on obtient :
(1 +tan
2 ϕ)
dϕ
dt
=
x
y
− x
y
x 2
d’où :
dϕ
dt
=
x
y
− x
y
x 2 + y 2
D’où l’expression de la courbure :
γ =
dϕ
ds
=
dϕ
dt
dt
ds
=
x
y
− x
y
(x 2 + y 2 )
3
2
γ =
Det(
− →
f
,
− →
f
)
− →
f
3
Écrivons un programme pour calculer la courbure :
Exemple:Calculons la courbure en un point régulier de la cycloïde définiepar : x(t) = t − sin t et y(t) = 1 − cos t.
ds
dt
=
(1 − cos t) 2 +sin 2 t = 2| sin
t
2
|
tan ϕ =
y
(t)
x (t)
=
sin t
1 − cos t
= cot
t
2
d’où:
ϕ=
π
2
−
t
2
+kπ
et
dϕ
dt
= −
1
2
γ =
dϕ
dt
dt
ds
= −
1
4| sin
t
2
|
Pour s’entraîner :ex. 7, 8
3.4 • Calcul de la courbure en coordonnées polaires
Soit unecourbe définie par l’équation polaire θ
→ ρ(θ).
Ici, ϕ = θ + V .
D’où
dϕ
dθ
= 1+
dV
dθ
.
De tan V =
ρ
ρ , on tire :
1+
ρ
2
ρ 2
dV
dθ
=
ρ
2
−ρρ
ρ 2
d’où
dV
dθ
=
ρ
2
− ρρ
ρ 2 + ρ 2
et
dϕ
dθ
=
ρ
2
+2ρ
2
−ρρ
ρ 2 + ρ 2
γ =
dϕ
ds
=
dϕ
dθ
dθ
ds
γ =
ρ
2
+2ρ
2
−ρρ
(ρ 2 + ρ 2 )
3
2
Ici encore, on peut aller plus vite si l’on peut exprimer V explicitement en
fonction de θ.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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