COURS 30
Étude métrique descourbes planes
3.2 • Expression de la vitesse et de l’accélération
dans le repère de Frenet
En interprétant un arc de classe C
2
commel em ouvement d’un point mobile
M (t), le vecteurv itesse est
− →
V =
d
−−→
OM
dt
, la vitessen umérique : v =
− →
V , le
vecteuraccélération
− →
Γ =
d
− →
V
d t
=
d
2 −−→
OM
dt 2 . On adonc :
− →
V =
d s
d t
d
−−→
OM
ds
= v
− →
T
et, en dérivant cette expression :
− →
Γ =
d v
d t
− →
T + v
d
− →
T
d t
=
d v
d t
− →
T + v
2 d
− →
T
d s
=
d v
d t
− →
T + v
2 γ
− →
N
En un point birégulier, γ =
1
R
:
− →
Γ =
d v
d t
− →
T +
v
2
R
− →
N
Le vecteur
dv
dt
− →
T est appelé accélération tangentielle ;iltraduit les variations de
la vitesse numériquesur la trajectoire. Le vecteur
v
2
R
− →
N est appelé accélération
normale ;iltraduit les variations de la direction de la vitesse.
En particulier,lemouvement est uniforme si et seulement si l’accélération tangentielle est nulle, c’est-à-dire si les vecteurs vitesse et accélération sont orthogonaux.
3.3 • Calcul de la courbure en coordonnéescartésiennes
Le plan étantrapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j), si f (t) = x(t) i + y(t) j,
l’abscisse curviligne vérifie:
ds
dt
=
x 2 +y 2
Les coordonnées de
− →
T =
d
−−→
OM
ds
sont :
dx
ds
= cos ϕ et
dy
ds
= sin ϕ
D’où:
tan ϕ =
dy
dx
=
y
x
Dans certains cas, cette relation permet de calculer ϕ explicitement en fonction
de t et d’en déduire
dϕ
dt
, puis
dϕ
ds
.
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