Étude métrique descourbes planes
COURS
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Adaptons notre programme pour calculer la longueur d’un
arc définipar une équation polaire :
y
x
2
0
1
1
Doc. 5 Cardioïde.
3 Courbure d’un arc de classe C
2
3.1 • Définition
Le plan estsupposé orienté. Soit (I , f )u narc au moins de classe C
2
, et s = σ(t)
l’abscisse curviligne. Lesfonctions s
→ ϕ(s)e ts →
− →
T ( s )s ont encore dérivables
et :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
− →
T
d s
= −
d ϕ
d s
sin ϕ i +
dϕ
ds
cos ϕ j
d
− →
N
d s
= −
d ϕ
d s
cos ϕ i −
dϕ
ds
sin ϕ j
La fonction numérique γ =
dϕ
ds
estappelée courbure.
On adonc :
d
− →
T
d s
= γ
− →
N et
d
− →
N
d s
= − γ
− →
T
La courbure γ(s)e nunpoint caractérise la vitesse de variation de la direction de
la tangente. Elle est positive ou négative suivant que la tangente tourne dans le
sens direct ou rétrograde.
On dit que le point M (s)e st birégulier si les vecteurs
− →
T et
d
− →
T
d s
sont linéairement indépendants, c’est-à-diresi γ (s) =0. On pose alors R(s) =
1
γ(s)
, appelé
rayondecourbure.Lerayon de courbure estdumême signe que la courbure.
Remarque :Lac ourbe est assimilable au voisinage du point M(s) àunarc de cercle
de rayon |R(s)|.
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