COURS 30
Étude métrique descourbes planes
2 Longueur d’un arc de courbe
2.1 • Définition
Soit (I , f )u narc paramétré régulier de classe C
1
et t 0 , t 1 deux éléments de I
tels que t 0 < t 1 . L’abscisse curviligne σ représentant un paramétragenormal, la
longueur de l’arc ([t 0 , t 1 ], f )e st donnée par :
L(t 0 , t 1 ) = σ(t 1 ) − σ(t 0 ) =
t1
t0
f
(t) dt
La calculatrice TI-92+/Voyage 200 proposeu ne fonction
arcLen qui calcule la longueur d’un arc donné par l’équation cartésienne y = f (x):
2.2• Calcul de la longueur en coordonnées
cartésiennes
Le plan étant rapporté àu nr epère orthonormal (O,, i, j), si la
courbe paramétrée est définie par les fonctions t
→ x(t)e t
t → y(t), la longueur de l’arc (M (t 0 )M (t 1 )) est :
L(t 0 , t 1 ) =
t1
t0
x (t) 2 + y (t) 2 dt
Exemple : Longueur d’une arched el ac ycloïde (Doc. 4) définie
par:
x(t)=t−sin ty ( t ) = 1 − cos t
x
(t)
2
+ y
(t)
2
= (1 − cos t)
2
+sin
2
t = 4sin
2 t
2
D’où:
L(0, 2π) =
2π
0
2sin
t
2
dt = 8
y
x
2
0
Doc. 4 Cycloïde.
Pour s’entraîner:ex. 2, 3
Améliorons ce programme pour calculer la longueur
d’un arc paramétré quelconque défini par les fonctions
(x(t), y(t)) :
2.3 • Calcul de la longueur en coordonnéespolaires
Si la courbe est définie par l’équation polaire θ
→ ρ(θ), la longueur de l’arc
(M (θ 0 )M (θ 1 )) est :
L(θ 0 , θ 1 ) =
θ1
θ0
ρ(θ) 2 + ρ (θ) 2 dθ
Exemple:Longueur de la cardioïde (Doc. 5) définie par :
ρ(θ) = 1+cos θ
ρ(θ)
2
+ ρ
(θ)
2
= (1 +cos θ)
2
+sin
2 θ = 4cos
2 θ
2
D’où :
L(−π, π) =
2π
0
2cos
θ
2
dθ = 8
Pour s’entraîner :ex. 4, 5
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