Étude métrique descourbes planes
COURS
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où cos ϕ =
dx
ds
et sin ϕ =
dy
ds
.
En fait,
− →
T ,
− →
N , ϕ sont des fonctions de l’abscisse curviligne s, ou de tout paramètre équivalent t. On se permettra de noter de la même façon ces fonctions quel
que soit le paramètre. Nous admettrons que si l’arc est de classe C
k
, ces fonctions
sont de classe C
k−1
.
1.4 • Calcul en coordonnéescartésiennes
Le plan orientéest rapporté àunrepère orthonormal direct (O,, i, j). Soit (I , f )
l’arcparamétré défini par :
∀t ∈ I f (t) = x(t) i + y(t) j
que l’on suppose au moins de classe C
1
.
f
(t) = x
(t) i + y
(t) j ; f
(t) =
x (t) 2 + y (t) 2
d’où :
− →
T =
f
( t )
f ( t )
=
x
( t )
x ( t ) 2 + y ( t ) 2
i +
y
( t )
x ( t ) 2 + y ( t ) 2
j
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
cos ϕ =
x
(t)
x (t) 2 + y (t) 2
sin ϕ =
y
(t)
x (t) 2 + y (t) 2
− →
N = −
y
( t )
x ( t ) 2 + y ( t ) 2
i +
x
( t )
x ( t ) 2 + y ( t ) 2
j
1 . 5 • Calcul en coordonnées polaires
V
q
y
x
i
O
M
T
Doc. 3 Tangente en coordonnées
polaires.
Si l’arc est représenté par l’équation polaire : θ
→ ρ(θ)( Doc. 3), on ad ans le
repère polaire :
f (θ) = ρ(θ) u(θ)
d’où :
f
(θ) = ρ
(θ) u(θ)+ρ(θ) v(θ); f
( θ ) =
ρ ( θ ) 2 + ρ ( θ ) 2
− →
T =
ρ
( θ )
ρ ( θ ) 2 + ρ ( θ ) 2
u ( θ )+
ρ(θ)
ρ (θ) 2 +ρ(θ) 2
v(θ)
− →
N = −
ρ ( θ )
ρ ( θ ) 2 + ρ ( θ ) 2
u ( θ )+
ρ
(θ)
ρ (θ) 2 +ρ(θ) 2
v(θ)
Ici :
− →
T = cos V u(θ)+sin V v(θ)
− →
N = − sin V u(θ)+cos V v(θ)
où V estl’angle ( u(θ),
− →
T ) . Il vérifie tan V =
ρ(θ)
ρ (θ)
.
L’angle ϕ se calculefacilement par :
ϕ = ( i,
− →
T ) = ( i ,
−−→
OM )+(
−−→
OM ,
− →
T ) = θ + V
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