COURS 30
Étude métrique descourbes planes
Démonstration
Pard éfinition, l’abscisse curviligne σ estd érivable et : σ
(t) = f
(t) . Cette
dérivéeest continue : σ est de classe C
1
;d eplus, l’arc étant régulier, σ
(t)e st
strictement positif :l af onction σ est strictement croissante sur I et continue
donc bijective. Sa bijection réciproque est dérivable et pour tout s ∈ σ(I ):
(σ
− 1
)
(s)=
1
f (σ − 1 (s))
(σ
−1
)
est continue, donc σ
−1
estd ec lasse C
1
. σ estb ienu np aramétrage
admissible de classe C
1
.
Ce paramétrage admissible permetd ed éfinir l’arc équivalent (J , F )t el que
f = F ◦ σ, c’est-à-dire pour tout t ∈ I : f (t) = F
σ(t)
. En dérivant,
on obtient:
f
(t)=σ
(t) F
σ(t)
= f
(t) F
σ(t)
d’où :
F
σ(t)
=
f
(t)
f (t)
Ce vecteurest de norme 1:c’est le vecteurunitaire colinéaire à f
(t)d emême
sens.
∀s ∈ σ(I ) F
(s) = 1
L’arc (σ(I ), F )r éalise le parcours de la courbe C àvitesse numérique constante
égale à1:ondit que l’abscisse curviligne est un paramétrage normal de C.
1.3 • Repère de Frenet
M
T
!
Doc. 1 Vecteurunitaire tangent.
Supposonsleplan orienté. Soit M un point de C d’abscisse curviligne s. Désignonspar
− →
T le vecteur unitaire F
(s), c’est-à-direavec la notation de Leibniz :
− →
T =
d
−−→
OM
ds
On l’appelle vecteur unitaire tangent à C en M (Doc. 1).
On peut calculer le vecteur
− →
T àpartir de tout paramétrage équivalent à σ par :
− →
T =
d −→ OM
dt
ds
dt
=
f
(t)
f (t)
M
T
→
i
→
N
→
w
Doc. 2 Repère de Frenet.
Désignons par
− →
N l’image de
− →
T par la rotation vectorielle d’angle +
π
2
.
(M ,
− →
T ,
− →
N )e st un repère orthonormal direct, appelé repère de Frenet attachéau
point M .
Si le plan estrapporté au repère orthonormal direct fixe (O,, i, j), désignons par
ϕ l’angle( i ,
− →
T )( Doc. 2). − →
T = cos ϕ i +sin ϕ j
− →
N = − sin ϕ i +cos ϕ j
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