Étude métrique descourbes planes
COURS
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1 Représentation normale d’un arc
1.1 • Paramétrage admissible
Nous avonsvuaudébut de l’année qu’une courbe plane pouvait être représentée
paramétriquement de plusieurs façons. Précisons ce point de vue. On appelle arc
paramétré du plan P une application f d’un intervalle I de R dans P ;o n
le note (I , f ). Supposons-le de classe C
k
. Désignons par C le support de cet
arc.
L’arc (J ,, g)d eclasse C
k
est dit équivalent à( I , f)s ’il existe une bijection θ de
I dans J , de classe C
k
ainsique sa réciproque, telle que : f = g ◦ θ. On dit
que θ estunparamétrage admissible de (I , f ).
∀t ∈ I f (t) = g
θ(t)
∀u ∈ J g(u) = f
θ
−1
(u)
Lesarcs (I , f )e t( J ,, g)o nt le même support C. θ(t)e st un nouveau paramètre
permettant de décrire C àl’aide de la fonction g.
Si k 1, lesfonctions f ,, g,θ sont dérivables et :
f
(t) = θ
(t) g
θ(t)
Lesvecteurs dérivés f
(t)e t g
θ ( t )
sont donc colinéaires, et comme θ
ne
s’annule pas (car θ
−1
est dérivable), ces deuxvecteurs ne peuvent s’annuler que
simultanément:l es arcs (I , f )e tJ ,, g)o nt les mêmes points stationnaires. En
particulier, si l’un est régulier, l’autre aussi. Ceci montre qu’il ne suffit pas que
deux arcs aient le même support pour qu’ils soient équivalents.
1.2 • Abscisse curviligne
Soit (I , f )u na rc de classe C
1
régulier. Il existe en toutp oint de I un vecteur vitesse f
(t); la normed ec ev ecteur représente la vitesse numérique du
mobile.O na ppelle abscisse curviligne toutep rimitive de la fonction continue
t
→→ f
(t) .
σ(t) =
t
t0
f
(u) du
Intuitivement, l’abscisse curviligne représente une sorte de «compteur kilométrique »permettant de mesurer la distance parcourue sur la courbe C.
Théorème 1
Pour tout arc (I , f )d eclasse C
1
régulier,l’abscisse curviligne est un paramétrage admissible.
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