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Étude métrique
des courbes
planes
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Propriétés métriques des courbes
planes :a bscisse curviligne, longueur, courbure.
• Usage du repère de Frenet.
INTRODUCTION
L
’étude descourbes planes que nous avons commencée dès le début de l’année, enrichie par
l’étude locale que permettent les développements limités, est purement affine, c’est-à-dire que les propriétés
étudiées sonti nvariantes par n’importe quelle application affine (projection, homothétie, affinité...).
Nousn ous proposons dans ce chapitre d’étudier les
propriétés des courbes liées àl am étrique du plan,
c’est-à-dire invariantes seulement par uneisométrie,
voire même un déplacement. Prenons un exemple :
du point de vueaffine, toutes lesellipses se ressemblent
et l’étude faite pour l’une(par exemple un cercle) vaut
pour toutes. En revanche, la connaissance de la longueurd’un cercle ne donne aucun renseignement sur
celled’une ellipse :lalongueur d’une courbe est une
propriétémétrique.
522
Étude métrique
des courbes
planes
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Propriétés métriques des courbes
planes :a bscisse curviligne, longueur, courbure.
• Usage du repère de Frenet.
INTRODUCTION
L
’étude descourbes planes que nous avons commencée dès le début de l’année, enrichie par
l’étude locale que permettent les développements limités, est purement affine, c’est-à-dire que les propriétés
étudiées sonti nvariantes par n’importe quelle application affine (projection, homothétie, affinité...).
Nousn ous proposons dans ce chapitre d’étudier les
propriétés des courbes liées àl am étrique du plan,
c’est-à-dire invariantes seulement par uneisométrie,
voire même un déplacement. Prenons un exemple :
du point de vueaffine, toutes lesellipses se ressemblent
et l’étude faite pour l’une(par exemple un cercle) vaut
pour toutes. En revanche, la connaissance de la longueurd’un cercle ne donne aucun renseignement sur
celled’une ellipse :lalongueur d’une courbe est une
propriétémétrique.
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