Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Tout domaineborné du plan possède une aire.
b) Une fonction continue esti ntégrable sur tout domaine
borné du plan.
c) La matricejacobienne du champ de gradient d’une fonction de classe C
2
est symétrique.
d) Un champdevecteurs (P, Q)t el que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
est le
gradient d’unefonction.
e) L’intégrale curviligne d’un champ de gradient sur un
contour fermé est nulle.
f) L’aire de la région du plan limitée par une courbe γ
définie par une équation polaire est
1
2
γ
ρ
2
d θ.
Intégrales doubles
2 Calculer les intégrales doubles:
a)
U
xy dx dy
U ={(x,y)∈R
2
, x 0, y0, x+y1};
b)
U
|xy| dx dy
U ={(x,y)∈R
2
,
x
2
a 2 +
y
2
b 2 1};
c)
U
(x + y)dxdy
U=intérieur du triangle de sommets
A(0, 0) , B(1, 1) , C (2, 0) ;
d)
U
dx dy
(x + y) 2
U = { (x,y) ∈ R
2
, x 1 , y 1 , x + y 3 }.
3 Calculer le volume de la région de R
3
limitée par
la surface d’équation z = x
2
+2y
2
et le plan d’équation
z = 1.
4 Calculer àl ’aide d’un changement de variables les
intégrales doubles :
a)
U
dx dy
x 2 + y 2 +1
U =
(x,y)∈R
2
, x
2
+y
2
1
;
b)
U
x
2
a 2 +
y
2
b 2
−
1
2
dx dy
U =
(x,y) ∈ R
2
,
x
2
a 2 +
y
2
b 2 1
.
Champs de vecteurs de R
2
5 Calculer l’intégrale curviligne :
C
(x
2
− y)dx+(y
2
+x)dy
sur différents arcs C d’extrémités A(−1, −1) et B(1, 1).
6 Montrer que les intégrales curvilignes suivantes ne
dépendent que des extrémités de l’arc C . Les calculere n
fonction des coordonnées de ces extrémités :
a)
C
(x
2
− y
2
)dx −2xy d y ;
b)
C
2x
y
d x +
y
2
− x
2
y 2 d y (avec y > 0).
7 Calculer l’intégrale curviligne suivante :
C
(x − y)dx+(x+y)dy
x 2 +y 2
suivant que C est:
a) le cercle de centre O de rayon 1parcouru dans le sens
direct.
b) le carré de diagonale A(1, −1) , C (−1, 1) parcouru
dans le sens direct;
Commenter le résultat.
8 Calculer l’intégraledouble : I =
U
(x +y)dxdy
où : U = { (x, y) ∈ R
2
, x 0 , y 0 , x
2
+ y
2
1 }
1) directement,
2) par un changement de variables,
3) àl’aide de la formule de Green-Riemann.
9 Mêmeexercice avec : I =
U
xy d x d y
où : U = { (x, y) ∈ R
2
, x 0 , y 0 ,
x
2
a 2 +
y
2
b 2 1 }
Exercice posé aux oraux des concours
10 (Centrale-Supelec 2006)
Soit a ∈ R
∗
+ ;d ans le plan rapporté àu nr epère orthonormé, on considère la courbe C d’équation cartésienne :
x(x
2
+ y
2
) = a(x
2
− y
2
)
Déterminer une équation polairede C ,latracer et calculer
l’aire de la boucle.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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