Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Deux arcs sont équivalents si et seulement si ilso nt le
mêmesupport.
b) Un paramétrage estdit normal si et seulement si la vitesse
numériqueest égale à1.
c) Le repère de Frenet est orthonormal direct.
d) La courbure d’un arc plan en un point est un réel positif.
e) Le vecteur accélération est toujours orthogonal àlatangente.
f) Pour tout arc régulier de classe C
2
, l’angle ϕ estu n
paramétrage admissible de classe C
1
.
2 Calculer la longueur de la néphroïde représentée paramétriquement par :
x(t) = 3cos t − cos3ty ( t ) = 3sin t − sin 3t
3 Calculer la longueur de l’arcd’une parabole de paramètre p, limité par la parallèle àladirectrice passant par le
foyer.
4 Calculer la longueur de la courbe d’équation polaire
ρ(θ) = cos
2 θ.
5 Démontrer, sans les calculer, que les longueursd es
deux courbes suivantes sont égales :
1) ellipse d’équation cartésienne x
2
+4y
2
=4a
2
;
2) trèfle àquatre feuilles d’équation polaire :
ρ(θ) = a cos 2θ.
6 Construire la courbe C d’équation polaire :
ρ(θ) = cos
3 θ.
Calculer la courbure de C au point O.
7 Calculer la courbure en toutpoint de l’arc défini par :
x(t) = cos
2
t +ln(sin t)
y(t) = sin t cos t
8 On considère l’astroïde Γ définie par :
x(t) = cos
3
ty ( t ) = sin
3
t
1) Calculer la longueur de Γ.
2) Calculer le rayon de courbure R(t)d eΓau point
M (t).
3) Déterminer les coordonnées du point :
I (t) = M (t)+R(t)
−−→
N ( t )
(appelé centre de courbure de Γ au point M (t)).
4) Étudierlacourbe Γ
décritepar le point I (t).
5) Par quelle transformation géométrique simple la courbe
Γ
se déduit-elle de Γ ?
9 Déterminer les courbesplanes telles qu’en tout point
le rayondecourbure R et l’abscisse curviligne s sont liés
par la relation R = 1+s
2
.
Exercices posés aux oraux des concours
10 (Centrale-Supelec 2007)
Calculer en tout point le centre de courbure d’uneellipse.
(la définitiondecepoint se trouve dans l’exercice 8)
Reconnaître la courbe ensemble de ces centres de courbure,
appeléedéveloppée de l’ellipse.
11 (Centrale-Supelec2007)
On considère une parabole P et un point M de P .
Montrer que le rayondecourbure en M est égal au double
de la longueur du segment de la normale en M à P
compris entre M et la directrice de P .
12 (CCP 2007)
Calculer la longueur de la boucle de la courbedéfinie par la
paramétrisation : x(t) = 3t
2
− 1
y(t) = 3t
3
− t
13 (Mines -2007)
Calculer la longueur de la développée de la courbe d’équation paramétrique :
x(t) = a (1 +cos
2
t)sin t
y(t) = a sin
2
t cos t
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1 Vraioufaux ?
a) Deux arcs sont équivalents si et seulement si ilso nt le
mêmesupport.
b) Un paramétrage estdit normal si et seulement si la vitesse
numériqueest égale à1.
c) Le repère de Frenet est orthonormal direct.
d) La courbure d’un arc plan en un point est un réel positif.
e) Le vecteur accélération est toujours orthogonal àlatangente.
f) Pour tout arc régulier de classe C
2
, l’angle ϕ estu n
paramétrage admissible de classe C
1
.
2 Calculer la longueur de la néphroïde représentée paramétriquement par :
x(t) = 3cos t − cos3ty ( t ) = 3sin t − sin 3t
3 Calculer la longueur de l’arcd’une parabole de paramètre p, limité par la parallèle àladirectrice passant par le
foyer.
4 Calculer la longueur de la courbe d’équation polaire
ρ(θ) = cos
2 θ.
5 Démontrer, sans les calculer, que les longueursd es
deux courbes suivantes sont égales :
1) ellipse d’équation cartésienne x
2
+4y
2
=4a
2
;
2) trèfle àquatre feuilles d’équation polaire :
ρ(θ) = a cos 2θ.
6 Construire la courbe C d’équation polaire :
ρ(θ) = cos
3 θ.
Calculer la courbure de C au point O.
7 Calculer la courbure en toutpoint de l’arc défini par :
x(t) = cos
2
t +ln(sin t)
y(t) = sin t cos t
8 On considère l’astroïde Γ définie par :
x(t) = cos
3
ty ( t ) = sin
3
t
1) Calculer la longueur de Γ.
2) Calculer le rayon de courbure R(t)d eΓau point
M (t).
3) Déterminer les coordonnées du point :
I (t) = M (t)+R(t)
−−→
N ( t )
(appelé centre de courbure de Γ au point M (t)).
4) Étudierlacourbe Γ
décritepar le point I (t).
5) Par quelle transformation géométrique simple la courbe
Γ
se déduit-elle de Γ ?
9 Déterminer les courbesplanes telles qu’en tout point
le rayondecourbure R et l’abscisse curviligne s sont liés
par la relation R = 1+s
2
.
Exercices posés aux oraux des concours
10 (Centrale-Supelec 2007)
Calculer en tout point le centre de courbure d’uneellipse.
(la définitiondecepoint se trouve dans l’exercice 8)
Reconnaître la courbe ensemble de ces centres de courbure,
appeléedéveloppée de l’ellipse.
11 (Centrale-Supelec2007)
On considère une parabole P et un point M de P .
Montrer que le rayondecourbure en M est égal au double
de la longueur du segment de la normale en M à P
compris entre M et la directrice de P .
12 (CCP 2007)
Calculer la longueur de la boucle de la courbedéfinie par la
paramétrisation : x(t) = 3t
2
− 1
y(t) = 3t
3
− t
13 (Mines -2007)
Calculer la longueur de la développée de la courbe d’équation paramétrique :
x(t) = a (1 +cos
2
t)sin t
y(t) = a sin
2
t cos t
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