Calcul intégral et champs de vecteurs
Par une intégration par parties répétée, on obtient:
I U (r)=
π
4
1
2
+
e
− r
2
2
(sin r
2
− cos r
2
)
Un calcul similaire conduit à:
J U (r)=
π
4
1
2
−
e
− r
2
2
(sin r
2
+cos r
2
)
e
−r
2 tend vers 0; sin r
2
et cos r
2
sont
bornés.
Quelle est l’aire du domaine V \U ?
2) Lorsque r tend vers +∞, I U (r)e tJ U ( r )t endent vers
π
8
.
3) La différence I V (r) − I U (r)r eprésente l’intégrale double de la fonction
e
−x
2 −y
2 cos(x
2
+ y
2
)s ur l’ensemble V \U ;o npeut la majorer :
I V (r) − I U (r)
e
−r
2
r
2
−
πr
2
4
Ce quip rouve que I V (r) − I U (r)t end vers 0q uand r tend vers +∞ ;
I V (r)t end donc vers
π
8
. Le même raisonnementest applicable à J V (r).
Appliquer les formules d’addition du cosinus et du sinuspour exprimer I V (r)e t
J V ( r )e nfonction de C (r)e tS ( r ) .
4) Calculons I V (r)e nutilisant la formule d’addition du cosinus :
I V (r) =
V
e
−x
2 −y
2 (cos x
2
cos y
2
− sin x
2
sin y
2
)dxdy
=
V
e
−x
2
e
−y
2 cos x
2
cos y
2
dxdy
−
V
e
−x
2
e
−y
2 sin x
2
sin y
2
dxdy
=
r
0
e
−x
2 cos x
2
dx
2
−
r
0
e
−x
2 sin x
2
dx
2
= C (r)
2
− S(r)
2
De même :
J V (r) =
V
e
−x
2 −y
2 (sin x
2
cos y
2
− cos x
2
sin y
2
)dxdy
=
V
e
−x
2
e
−y
2 sin x
2
cos y
2
dxdy
−
V
e
−x
2
e
−y
2 cos x
2
sin y
2
dxdy
= 2
r
0
e
−x
2 sin x
2
dx
r
0
e
−x
2 cos x
2
dx
= 2 C (r) S(r)
Résoudre le système formé par les deux
équations.
5) On a:
⎧
⎨
⎩
C(r)
2
−S(r)
2
=I V (r)
C(r)
2
−S(r)
2
=−
J V (r)
2
4
Donc C (r)
2
et −S(r)
2
sont les racines du trinôme :
X
2
− I V (r) X −
J V (r)
2
4
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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