Calcul intégral et champs de vecteurs
Exercice résolu
UN CALCUL D’INTÉGRALES SIMPLES ÀL’AIDE D’INTÉGRALES DOUBLES
Soit ru nréel strictement positif. On considère les intégrales simples :
C (r) =
r
0
e
−t
2 cos t
2
dt,
S(r) =
r
0
e
−t
2 sin t
2
dt
et les intégrales doubles :
I U (r) =
U
e
−x
2 −y
2 cos(x
2
+ y
2
)dxdy ,
J U (r) =
U
e
−x
2 −y
2 sin(x
2
+ y
2
)dxdy
I V (r) =
V
e
−x
2 −y
2 cos(x
2
+ y
2
)dxdy ,
J V (r) =
V
e
−x
2 −y
2 sin(x
2
+ y
2
)dxdy
où Ue st le quart de disque de centre Oderayon rl imité par lesdemi-axes Ox, Oy et Vl ecarré [0, r]
2
(Doc. 17).
y
x
O
r
r
U
V
Doc. 17.
1 Calculer I U (r) et J U (r) en utilisantles coordonnées polaires.
2 Montrer queI U ( r )et J U (r) admettentdes limites que l’on déterminera quand rt end vers +∞.
3 Que peut-on dire de I V (r) − I U (r) et J V (r) − J U (r) quandrtend vers +∞ ?
4 Montrerque :I V ( r ) = C ( r )
2
− S ( r )
2
et J V (r) = 2C (r)S(r).
5 En déduiredes expressions de C(r) et S(r) en fonction de I V (r) et J V (r).
6 Déterminer les limites de C (r) et S(r) quandrtend vers +∞.
Conseils
Solution
Attention dx dy se remplace par
ρ dρ dθ.
1) En coordonnées polaires :
I U (r) =
U
e
−ρ
2 cos(ρ
2
) ρ dρ dθ
où U
= [0, r]×[0,
π
2
]. D’où :
I U (r) =
π
2
r
0
e
−ρ
2 cos(ρ
2
) ρ dρ
Cette intégrale simple se calcule facilement.
Effectuons le changement de variable u = ρ
2
:
I U (r) =
π
4
r
2
0
e
−u
cos u du.
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