Calcul intégral et champs de vecteurs
Exemple : Aire de l’intérieur d’uneellipse : x = a cos ty = b sin t
A =
γ
−y d x =
2π
0
ab sin
2
t d t = πab
3.3 • Aire en coordonnées polaires
y
x
2
0
1
1
Doc.16 Cardioïde.
−y d x + x d y = −ρ sin θ(cos θ d ρ − ρ sin θ d θ)+ρcos θ(sin θ d ρ + ρ cos θ d θ)
= ρ
2
d θ
D’où :
A =
1
2
γ
ρ
2
d θ
Exemple:Aire de l’intérieur d’une cardioïde ρ = 1+cos θ (Doc. 16)
A =
1
2
2π
0
(1 +cos θ)
2
d θ =
1
2
2π
0
1+2cos θ +
1+cos 2θ
2
d θ =
3π
2
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour calculer uneintégrale double,onpeut:
• la calculer directement (cf.exercice 2) ;
• effectuerunchangement de variables (cf. exercice 4) ;
• utiliser la formule de Green-Riemannpour se ramener àune intégrale curviligne (cf. exercices 8 et 9 ).
Pour calculer une intégralecurviligne,onpeut:
• utiliser un paramétrage pour se ramener àune intégrale simple (cf. exercices 5 et 7) ;
• s’il s’agit d’un champ de gradient, calculer le potentiel scalaire correspondant ;l ’intégrale est alors égale àl a
différence de potentiel entre les deux extrémités (cf.exercice 6).
Pour reconnaître si un champdevecteurs de classe C
1
est un champ de gradient,onpeut utiliser le théorème
de Poincaré :ilsuffit que la matrice jacobienne du champ soit symétrique sur un domaine étoilé par rapport à
un de ses points (cf. exercice 6).
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Exemple : Aire de l’intérieur d’uneellipse : x = a cos ty = b sin t
A =
γ
−y d x =
2π
0
ab sin
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t d t = πab
3.3 • Aire en coordonnées polaires
y
x
2
0
1
1
Doc.16 Cardioïde.
−y d x + x d y = −ρ sin θ(cos θ d ρ − ρ sin θ d θ)+ρcos θ(sin θ d ρ + ρ cos θ d θ)
= ρ
2
d θ
D’où :
A =
1
2
γ
ρ
2
d θ
Exemple:Aire de l’intérieur d’une cardioïde ρ = 1+cos θ (Doc. 16)
A =
1
2
2π
0
(1 +cos θ)
2
d θ =
1
2
2π
0
1+2cos θ +
1+cos 2θ
2
d θ =
3π
2
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Pour calculer uneintégrale double,onpeut:
• la calculer directement (cf.exercice 2) ;
• effectuerunchangement de variables (cf. exercice 4) ;
• utiliser la formule de Green-Riemannpour se ramener àune intégrale curviligne (cf. exercices 8 et 9 ).
Pour calculer une intégralecurviligne,onpeut:
• utiliser un paramétrage pour se ramener àune intégrale simple (cf. exercices 5 et 7) ;
• s’il s’agit d’un champ de gradient, calculer le potentiel scalaire correspondant ;l ’intégrale est alors égale àl a
différence de potentiel entre les deux extrémités (cf.exercice 6).
Pour reconnaître si un champdevecteurs de classe C
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est un champ de gradient,onpeut utiliser le théorème
de Poincaré :ilsuffit que la matrice jacobienne du champ soit symétrique sur un domaine étoilé par rapport à
un de ses points (cf. exercice 6).
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