COURS 29
Calcul intégral et champs de vecteurs
3 Formule de Green-Riemann
3.1 • La formuledeGreen-Riemann
Le théorème suivant, quen ous admettrons, permet de passer d’une intégrale
curviligne àune intégrale double et vice versa :
Théorème 4
Soit U un domaineborné de R
2
dont la frontièreest une courbe simple fermée
γ de classe C
1
, parcourue dans le sens direct.
Soit
− →
V = ( P , Q )u nchamp de vecteurs de classe C
1
sur U .
γ
P d x + Q d y =
U
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy
x
O
U
y
γ
Doc. 15 Domaineborné par une
courbe simple fermée.
Remarque :Onretrouve le résultatducorollaire 3.1 :
∀(x, y) ∈ U
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
=⇒
γ
Pdx+Qdy=0
(Le domaine U , bien quen ’étant pas nécessairement étoilé, possède des propriétés
topologiques suffisantes pour que le théorèmedePoincaré s’applique (Doc. 15).)
Il faut bien faire attention pourappliquer ce théorème àceque
− →
V soit bien de
classe C
1
sur U tout entier,etpas seulement sur γ.
Pours’entraîner :ex. 8et9
3.2• Application aux calculs d’aire
Considéronslechamp de vecteurs
− →
V = ( − y , 0), de classe C
1
sur R
2
. Soit U
un domaineb orné de R
2
dont la frontière estu ne courbe simple fermée γ de
classe C
1
, parcourue dans le sens direct.
La formuledeGreen-Riemann nous donne :
γ
−y d x =
U
dx dy
On reconnaît l’aire A du domaine U . On peut faire de même avec le champ
− →
V = (0, x).D’où :
A =
γ
−y d x =
γ
x d y =
1
2
γ
−y d x + x d y
516