Calcul intégral et champs de vecteurs
COURS
29
x
y
A
B
U
1
γ
2
γ
Doc. 12 Deux chemins de mêmes
extrémités.
On peuténoncer :
Théorème 3
La circulation du champd eg radient d’une fonction f de classe C
1
sur une
courbe paramétrée ne dépend que des valeurs de f aux extrémités de cette
courbe et non du chemin utilisépour relier ces points.
En particulier,lacirculation d’un champ de gradient sur une courbe fermée est
nulle (Doc. 12).
Dans la pratique, on utilise le théorème de Poincaré pour reconnaître si un champ
de vecteurs est un champdegradient :
Corollaire3.1
Si
− →
V est un champ de vecteurs de classe C
1
suru nd omaine U étoilé
par rapport àu nd es es points, dont la matrice jacobienne est symétrique, la
circulation de
− →
V entre deux points ne dépend pas du chemin utilisé pour relier
ces points en restantdans U .
En particulier, la circulation de
− →
V est nulle sur toute courbe fermée incluse
dans U .
Exemple:Reprenons le champ étudié au paragraphe 2.2:
− →
V ( x , y ) =
− y
x 2 + y 2 ,
x
x 2 + y 2
x
y
γ
– b – aa
b
Doc. 13 Un chemin fermé.
Calculons la circulationde
− →
V sur le chemin indiqué sur le document 13.
I =
π
0
−
b sin t
b 2 (−b sin t)+
bcos t
b 2 (b cos t)
d t
+
0
π
−
a sin t
a 2 (−a sin t)+
acos t
a 2 (a cos t)
d t = 0
la courbe γ restant dans le domaine étoilé R
2
\{(x, y) , x = 0ety>0} ,ilest
normal d’obtenir une circulation nulle.
x
b
−b
y
O
γ
Doc.14 Un autre chemin fermé.
Calculons la circulation de
− →
V sur toutl ec ercled ec entre O de rayon b
parcouru danslesens direct (Doc. 14) :
I =
2π
0
−
b sin t
b 2 (−b sin t)+
bcos t
b 2 (b cos t)
d t =
2π
0
d t = 2π
Ici, la courbe γ n’est incluse dans aucun domaine étoilé. La circulation de
− →
V
n’est pas nulle, bien que la courbe soit fermée...
Pours’entraîner :ex. 5à7
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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