COURS 29
Calcul intégral et champs de vecteurs
2.3 • Intégralecurviligne
O
x
y
U
(t 0 )
γ
(t 1 )
γ
(t)
γ
’(t)
γ
V( (t))
γ
Doc.11 Circulation d’un champ de
vecteurs.
Soit
− →
V un champ de vecteurs de classe C
1
surune partie U de R
2
, et γ une
courbe paramétréed e U de classe C
1
sur un segment [t 0 , t 1 ], avec t 0 < t 1 .
On appelle circulation du champ
− →
V sur γ l’intégrale (Doc. 11) :
I =
t1
t0
− →
V ( γ ( t )) |
− →
γ
( t )
d t
Si
− →
V ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y )) et γ(t) = (x(t), y(t)), cetteintégrale s’écrit :
I =
t1
t0
P
x(t), y(t)
x
(t)+Q
x(t),y(t)
y
(t)
dt
Un changement de paramètre de classe C
1
correspond àu nc hangement de
variable dans cette intégrale :lacirculation du champ
− →
V sur γ ne dépend donc
pas du paramétrage, mais seulementdusupport de γ et des points de départ et
d’arrivée.
En remarquant que x
(t)dt=dx et y
(t)dt=dy ,onpeutécrire :
I =
γ
P(x, y)dx+Q( x,y )dy
Cette notation est appelée intégrale curviligne .L ’indice γ rappelle la courbe
paramétrée sur laquelle on intègre, puisque plus rien dans l’intégrale n’y fait
référence.
Exemple:Calculer l’intégrale curviligne
γ
y d x − x d y, où γ estl ec ercle
trigonométriqueparcouru dans le sens direct.
Paramétrons γ par : x(t) = cos t et y(t) = sin t
I =
2π
0
sin t(− sin t d t) − cos t(cos t d t) =
2π
0
(− sin
2
t − cos
2
t)dt=− 2 π
2.4•Circulation d’un champ de gradient
Si f estune fonction de R
2
dans R de classe C
1
sur une partie U , et γ une
courbe paramétréede U de classe C
1
sur l’intervalle [t 0 , t 1 ], la circulation du
gradient de f sur γ est:
I =
γ
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy
=
t 1
t 0
∂f
∂x
x(t),y(t)
x
(t)+
∂f
∂y
x(t),y(t)
y
(t)
dt
On reconnaît dans le crochet la dérivée de la fonction t
→ f
x(t), y(t)
.
Par conséquent :
I = f
x(t 1 ), y(t 1 )
− f
x(t 0 , y(t 0 )
.
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