COURS 29
Calcul intégral et champs de vecteurs
2 Champs de vecteurs de R
2
2.1 • Définition
y
x
Doc. 6 Champ de vecteurs.
Soit U unep artie de R
2
. On appelle champd ev ecteurs défini sur U une
application qui,àtout point de U , fait correspondre un vecteur de R
2
(Doc. 6).
∀(x, y) ∈ U
− →
V ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y ))
Si cette application estd ec lasse C
1
, elle possède en tout point une différentielle, endomorphisme de R
2
représenté dans la base canonique par la matrice
jacobienne :
J =
⎛
⎜
⎜
⎝
∂P
∂x
∂P
∂y
∂Q
∂x
∂Q
∂y
⎞
⎟
⎟
⎠
2.2 • Champdegradient
En particulier, si f est une fonction de classe C
2
de U dans R, son gradient
−−→
Grad f =
∂f
∂x
,
∂f
∂y
est un champ de vecteurs de matrice jacobienne :
J =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
2
f
∂x 2
∂
2
f
∂y∂x
∂
2
f
∂x∂y
∂
2
f
∂y 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
On voitque, d’après le théorème de Schwarz, cette matrice est symétrique.
x
y
A
Doc. 7 Domaine étoilé.
Réciproquement, tout champ de vecteurs dont la matricejacobienne est symétrique
est-il un champ de gradient ?
• Oui, localement,c’est-à-dire que chaque point de U possède un voisinagesur
lequel il existe une fonction f dont le champ de vecteurs soit le gradient.
• Non, en général, sur U tout entier.Lapossibilité de «recoller »les solutions
locales dépend étroitement des propriétés topologiques de U .
O
A
M
Doc. 8 Le plan privéd’une
demi-droite estétoilé.
Nous allons donner,s ans démonstration, une condition suffisante pour que ce
recollement soit possible. Donnons,pour cela, une définition :ondit que U est
étoilé par rapport àundeses points A si (Doc. 7) :
∀M ∈ U [AM ] ⊂ U
Exemples :
Une partie convexe estune partie étoilée par rapport àchacun de ses points.
R
2
\{O} n’est étoilé par rapport àaucun de ses points.
R
2
privé d’une demi-droite d’origine O est étoilé par rapport àunpoint de
la demi-droite opposée (Doc. 8).
512