Calcul intégral et champs de vecteurs
COURS
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1.3 • Changement de variables
Soit f une fonction de R
2
dans R, définiee tc ontinue sur le domaine
borné U . On peut, dans certains cas, simplifier le calcul de l’intégraled ouble
U
f (x,y)dxdy par un changement de variables :
Soit ϕ une application (x, y)
→ (u, v), bijective, de classe C
1
sur U , et telle
que la bijection réciproque ϕ
−1
:( u , v ) → (x, y)s oit également de classe C
1
sur U
= ϕ(U ).
f (x, y)p euts’exprimerenfonction de u et v : f (x, y) = g(u, v).
Nous admettrons qu’on aalors :
U
f (x,y)dxdy=
U
g(u,v)|Det J | d u d v
où J estlamatrice jacobienne de ϕ
−1
, c’est-à-direque :
Det J =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
IMPORTANT
Sans chercher àd émontrer cette formule, on peut expliquer la présence
de |Det J | en remarquant que c’est
le facteurp ar lequel la différentielle
de ϕ
−1 multiplie les aires et que
par conséquent, il faut remplacer l’élément différentiel
d x d y
par
|Det J | d u d v.
Dans le casduchangement de variable dans l’intégrale d’une fonction de R dans
R, on avait:
[ a , b ]
f(t)dt=
[ a , b ]
f◦ϕ ( u )| ϕ
( u ) | du, où [a
, b
] = ϕ
[a, b]
Exemple : Coordonnées polaires
U
y
ab
O
x
Doc. 5 Le domaine U .
Si x = ρ cos θ et y = ρ sin θ :
Det J =
cos θ −ρ sin θ
sin θρ cos θ
= ρ
D’où :
U
f (x,y)dxdy=
U
g(ρ,θ)ρ dρ dθ
(où ρ > 0)
Soit, par exemple :
I =
U
xy
x 2 + y 2
d x d y
où
U = {(x, y) ∈ R
2
, x 0 , y 0 , a
2
x
2
+ y
2
b
2
} (Doc. 5)
Alors : I =
U
ρcos θ sin θ d ρ d θ
où U
= [a, b] ×
0,
π
2
C’est-à-dire :
I =
b
a
ρ
2
d ρ
π
2
0
cos θ sin θ d θ =
b
3
− a
3
6
.
Pour s’entraîner:ex. 4
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