COURS 29
Calcul intégral et champs de vecteurs
1.2 • Intégraledouble surune partie bornée
z
y
b
U
a
O
d
c
x
Doc. 2 Prolongement de f sur le
rectangle R.
Soit U unepartie bornée de R
2
et f une fonction de R
2
dans R définieet
continue sur U .
U est inclus dans un rectangle R = [a, b] × [c, d]( Doc. 2). Prolongeons f à
R en posant :
⎧
⎨
⎩
∀(x, y) ∈ U
f (x, y) = f (x, y)
∀(x, y) ∈ R\U
f (x, y) = 0
On dit que f est intégrable sur U si f est intégrable sur R et l’on pose alors :
U
f (x,y)dxdy =
R
f (x,y)dxdy
IMPORTANT
L’existence de cette intégrale ne dépend pas quedelafonction f , mais
aussi du domaine U . Mêmel ’intégrale
U
d x d y n’est past oujours
définie :u nd omaine borné U ne
possèdepas nécessairement une aire...
y
x
b
a
U
w 2
w 1
Doc. 3 Domaine élémentaire.
Dans la pratique,o na ura le plus souvent affaire au domaine compris entre les
courbesreprésentatives de deux fonctions continues :
Si U estdelaforme (Doc. 3) :
a x b
ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)
U
f (x,y)dxdy =
b
a
ϕ 2 ( x )
ϕ 1 ( x )
f( x,y )dy
dx
Exemple : L’aire du domaine U est :
A =
U
dx dy =
b
a
(ϕ 2 (x) − ϕ 1 (x)) d x
APPLICATION 1
Moment d’inertied’un disque par rapport àundiamètre
Soit Ul edisque de centre Od erayon Re tμsa masse
surfacique. Déterminer le moment d’inertie du disque par
rapport àl’axe Oy (Doc. 4).
x
x
y
x
U
Doc. 4
La masse du disque est M = μπR
2
.
Son moment d’inertieest :
J =
U
μx
2
dx dy = μ
R
−R
x
2
√ R 2 −x 2
−
√
R 2 −x 2
dy
dx
= 2μ
R
−R
x
2
R 2 −x 2 dx = 2μR
4
π
0
cos
2
t sin
2
t d t
=
μR
4
2
π
0
sin
2
2t d t =
μπR
4
4
=
MR
2
4
Pour s’entraîner:ex. 2et3
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