Calcul intégral et champs de vecteurs
COURS
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1 Intégrales doubles
1.1 • Intégraledouble sur un rectangle
c
d
a
O
b
x
y
Doc. 1 Rectangle de R
2 .
Pour définirl ’intégrale d’une fonction continue de R
2
dans R, commençons
par le cassimple où le domaine d’intégration est un rectangle (Doc. 1).
Théorème 1(Théorème de Fubini)
Soit f une fonction de R
2
dans R, définie et continue sur le rectangle
R = [a, b] × [c, d] , (a < b et c < d)
b
a
d
c
f (x, y)dy
dx =
d
c
b
a
f( x,y )dx
dy
Démonstration
Posons :
F (x, y) =
x
a
y
c
f (u, v)dv
d uG ( x , y ) =
y
c
x
a
f ( u , v )du
dv
IMPORTANT
*Ceque nous admettrons.
L’application u →
y
b
f (u, v)dv étant continue (*), F est dérivable par rapport
à x et :
∂F
∂x
=
y
c
f (x, v)dv
L’application v
→ f (x, v)é tant continue,
∂F
∂x
est dérivable par rapport à y et :
∂
2
F
∂y∂x
= f (x, y)
Le même calcul conduit à
∂
2
G
∂x∂y
= f (x, y).
f étant continue, on peut conclure, grâce au théorème de Schwarz, que :
∂
2
F
∂y∂x
=
∂
2
G
∂y∂x
soit
∂
2
(F − G)
∂y∂x
= 0
On en déduit qu’il existe des fonctions ϕ et ψ de R dans R telles que :
∀(x, y) ∈ [a, b] × [c, d] F (x, y) − G(x, y) = ϕ(x)+ψ(y)
Pour x = a : ∀y ∈ [c, d] F (a, y) − G(a, y) = 0d ’où ϕ(a)+ψ(y) =0
Pour y = c : ∀x ∈ [a, b] F (x, c) − G(x, c) = 0d ’où ϕ(x)+ψ(c) =0
En ajoutant membre àmembre : ϕ(x)+ψ(c)+ϕ(a)+ψ(y)=0
Or ϕ(a)+ψ(c)=0, d’où :∀(x, y) ∈ [a, b] × [c, d] ϕ(x)+ψ(y)=0
C’est-à-dire :
F (x, y) − G(x, y) = 0
IMPORTANT
Un cassimple estcelui où f est
de la forme:
f(x,y)=g(x)h(y)
On aalors :
R
f (x,y)dxdy
=
b
a
g( x )dx
d
c
h ( y )dy
En particulier :
R
dx dy = (b − a)(d − c)
quireprésente l’aire du rectangle R.
La valeur communedeces deux intégrales estappelée intégrale double de f sur
R = [a, b] × [c, d]e tnotée :
I =
R
f (x,y)dxdy
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