Exercices
1 Vraioufaux ?
a) La réunion d’une famille quelconque de parties bornées
est bornée.
b) La réunion d’une famille quelconque de parties ouvertes
est ouverte.
c) Une fonction de deux variables dont les deux applications partielles sont continues en un point est continue en
ce point.
d) Une fonction de deux variables qui possède des dérivées
partielles en un point est continueencepoint.
e) Si une fonctiondeclasse C
1
présente un extremum local
en un point, son gradient est nul en ce point.
f) Si le gradient d’une fonction de classe C
1
s’annule en
un point, cette fonction présente un extremum en ce point.
g) Quandoncalcule une dérivée partielle seconde par rapport àdeux variables, l’ordre des dérivations n’importe pas.
Espace R
2
2 Montrer que pour tous points a et b de R
2
il existe
des boules ouvertes de centres a et b disjointes.
3 Démontrerq ue l’intersection et la réunion de deux
ouvertsde R
2
sont des ouverts.
Peut-on généraliser àune famille quelconque d’ouverts ?
4
∗ On désigne par p 1 et p 2 les projections de R
2
sur R :
p 1 :( x , y ) → xp 2 :( x , y ) → y
Soit A un ouvert de R
2
;m ontrer que p 1 (A)e tp 2 ( A )
sont des ouverts de R.
Fonctions de deux variables
5 Étudier la continuité des fonctions suivantes de R
2
dans R :
a)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
− y
2
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
b)
⎧
⎨
⎩
si y
= 0 f (x, y) =
x
2
y
f (x, 0) = 0
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
d)
⎧
⎨
⎩
si x
= yf ( x , y ) =
e
x
− e
y
x − y
f ( x , x ) = e
x
6 Les fonctions suivantes admettent-elles une limite au
point indiqué?
a) f (x, y) = x
y
en (0, 0) ;
b) f (x, y) = Arctan
y
x
+Arctan
x
y
en (0, 0) ;
c) f (x, y) =
x
y
− y
x
x − y
en (a, a), a ∈ R
∗
+ .
Dérivées partielles
7 Calculer les dérivées partielles des fonctions:
a) f (x, y) =
x 2 + y 2 b) f (x, y) = x
y
x
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
sin x
3
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
d)
si x
= 0 f (x, y) = x
2
sin
y
x
f (0, y) = 0
8 Les fonctions suivantes sont-elles de classe C
1
au
point( 0 , 0) ?Sioui, calculer leur gradient en ce point.
a)
⎧
⎨
⎩
si (x, y) = (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
b)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
2
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
xy
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
9 Écrire la matricej acobienne des fonctions suivantes
de R
2
dans R
2
:
a) f (x, y) = (xy , x
2
+ y
2
);
b) f (x, y) =
Arctan
y
x
, Arctan
x
y
.
10 Le plan est rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j ).
On appelle inversion de pôle O et de rayon R l’application f qui àt out point M (x, y)d istinct de O fait correspondre le point M
de la demi-droite [OM )t el que
OM · OM
= R
2
.
Calculer la matrice jacobienne de l’application f en un
point distinct de l’origine. Montrer que la différentielle de
f en ce point est une similitude rétrograde dont on déterminera les éléments caractéristiques.
506
1 Vraioufaux ?
a) La réunion d’une famille quelconque de parties bornées
est bornée.
b) La réunion d’une famille quelconque de parties ouvertes
est ouverte.
c) Une fonction de deux variables dont les deux applications partielles sont continues en un point est continue en
ce point.
d) Une fonction de deux variables qui possède des dérivées
partielles en un point est continueencepoint.
e) Si une fonctiondeclasse C
1
présente un extremum local
en un point, son gradient est nul en ce point.
f) Si le gradient d’une fonction de classe C
1
s’annule en
un point, cette fonction présente un extremum en ce point.
g) Quandoncalcule une dérivée partielle seconde par rapport àdeux variables, l’ordre des dérivations n’importe pas.
Espace R
2
2 Montrer que pour tous points a et b de R
2
il existe
des boules ouvertes de centres a et b disjointes.
3 Démontrerq ue l’intersection et la réunion de deux
ouvertsde R
2
sont des ouverts.
Peut-on généraliser àune famille quelconque d’ouverts ?
4
∗ On désigne par p 1 et p 2 les projections de R
2
sur R :
p 1 :( x , y ) → xp 2 :( x , y ) → y
Soit A un ouvert de R
2
;m ontrer que p 1 (A)e tp 2 ( A )
sont des ouverts de R.
Fonctions de deux variables
5 Étudier la continuité des fonctions suivantes de R
2
dans R :
a)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
− y
2
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
b)
⎧
⎨
⎩
si y
= 0 f (x, y) =
x
2
y
f (x, 0) = 0
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
d)
⎧
⎨
⎩
si x
= yf ( x , y ) =
e
x
− e
y
x − y
f ( x , x ) = e
x
6 Les fonctions suivantes admettent-elles une limite au
point indiqué?
a) f (x, y) = x
y
en (0, 0) ;
b) f (x, y) = Arctan
y
x
+Arctan
x
y
en (0, 0) ;
c) f (x, y) =
x
y
− y
x
x − y
en (a, a), a ∈ R
∗
+ .
Dérivées partielles
7 Calculer les dérivées partielles des fonctions:
a) f (x, y) =
x 2 + y 2 b) f (x, y) = x
y
x
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
sin x
3
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
d)
si x
= 0 f (x, y) = x
2
sin
y
x
f (0, y) = 0
8 Les fonctions suivantes sont-elles de classe C
1
au
point( 0 , 0) ?Sioui, calculer leur gradient en ce point.
a)
⎧
⎨
⎩
si (x, y) = (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
b)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
x
2
y
2
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
c)
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
xy
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
9 Écrire la matricej acobienne des fonctions suivantes
de R
2
dans R
2
:
a) f (x, y) = (xy , x
2
+ y
2
);
b) f (x, y) =
Arctan
y
x
, Arctan
x
y
.
10 Le plan est rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j ).
On appelle inversion de pôle O et de rayon R l’application f qui àt out point M (x, y)d istinct de O fait correspondre le point M
de la demi-droite [OM )t el que
OM · OM
= R
2
.
Calculer la matrice jacobienne de l’application f en un
point distinct de l’origine. Montrer que la différentielle de
f en ce point est une similitude rétrograde dont on déterminera les éléments caractéristiques.
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