Fonctions de deux variables réelles
EXERCICES
28
11 Déterminer l’ensemble des fonctions f de classe C
1
de R
2
dans R telles que :
∂f
∂x
−
∂f
∂y
= a
On pourra effectuer le changement de variables :
u = x + y
v = x − y .
12 Déterminer l’ensemble des fonctions f de classe C
1
de R
2
dans R telles que :
x
∂f
∂y
− y
∂f
∂x
= kf
Existe-t-il une solution continue sur R
2
?
On pourra passer en coordonnées polaires.
13
∗
Théorème d’Euler. Soit f une fonctiondeclasse C
1
de R
2
dans R tellequ’il existe un réel α vérifiant:
∀λ∈R
∗
+
∀(x,y)∈R
2
f(λx,λy)=λ
α
f(x,y)
Démontrer que :
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= αf
Donner des exemples avec diverses valeurs de α.
14 Étudier les extremums des fonctions :
a) f (x, y) = x
2
+ y
2
− x
3
;
b) f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3xy ;
c) f (x, y) = (x − y)
2
+(x+y)
3
.
Dérivées partielles d’ordre 2
15 Soit f la fonction de R
2
dans R définiepar :
⎧
⎨
⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
y
4
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
1) Montrer que f est de classe C
1
sur R
2
.
2) Montrer que f admet des dérivées partielles d’ordre 2
en tout point. Comparer
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) et
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) .
3) Lesd érivées partielles d’ordre 2d e f sont-elles continues ?
16 Soit f une fonction de classe C
2
de R
2
dans R.
On appelle laplacien de f la fonction Δ f =
∂
2
f
∂x 2 +
∂
2
f
∂y 2 .
1) Donner l’expression du laplacien en coordonnées polaires.
2) La fonction f est dite harmonique si son laplacien est
nul sur R
2
. Déterminer les fonctions harmoniques isotropes (c’est-à-dire qui ne dépendent pas de l’angle polaire
θ).
17 Soit f unef onction de classe C
2
de R
2
dans R
telle que :
∂
2
f
∂x 2 −
∂
2
f
∂y 2 = 0 (1)
On pose u = x + y ; v = x − y et f (x, y) = F (u, v) .
Calculer
∂
2
F
∂u∂v
. En déduire l’ensemble des fonctions f
vérifiant la relation (1).
Exercices posés aux oraux des concours
18 (Petites Mines 2006)
On considèrelafonction f définie sur R
2
par :
f (x, y) =
x
2
y
2
x 2 + y 2 , si (x, y)
= (0, 0)
et
f (0, 0) = 0
Montrerque f est de classe C
1
sur R
2
.
19 (CCP 2006)
On considère la fonction f définie sur R
2
par :
f (x, y) =
xy
|x| + |y|
, si (x, y)
= (0, 0)
et
f (0, 0) = 0
f est-elle de classe C
1
en (0, 0) ?
20 (Mines-Ponts 2006)
Soit F ∈ C[X ]u np olynôme àc oefficients complexes,e t P , Q les fonctions définies sur R
2
par :
P(x, y) = Re (F (x + iy)) , Q(x, y) = Im (F (x + iy)) .
Montrerque :
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
et
∂P
∂y
= −
∂Q
∂x
.
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