Fonctions de deux variables réelles
Réciproquement, si ces conditionss ont satisfaites, le D.L. de f peut
s’écrire :
f (z 0 + h) − f (z 0 ) =
∂X
∂x
+ i
∂Y
∂x
(h 1 + ih 2 )+o(h)
d’où
lim
h→0
f (z 0 + h) − f (z 0 )
h
=
∂X
∂x
+ i
∂Y
∂x
: f estdérivable en z 0 .
La matrice jacobienne de f en (x 0 , y 0 )e st alors :
J =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂X
∂x
−
∂Y
∂x
∂Y
∂x
∂X
∂x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
On reconnaît la matriced’une similitude directe, de la forme
k
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
Dansc haque exemple, déterminer les
fonctions X et Y , puis leurs dérivées
partielles
∂X
∂x
,
∂X
∂y
,
∂Y
∂x
,
∂Y
∂y
.
Exemples :
• f (z) = zX ( x , y ) = xY ( x , y ) = − y
∂ X
∂ x
= 1
∂ Y
∂ y
= − 1 .
fn’est dérivable en aucun point.
• f (z) = e
z
X (x, y) = e
x
cos yY ( x , y ) = e
x
sin y
∂X
∂x
= e
x
cos y =
∂Y
∂y
∂X
∂y
= −e
x
sin y = −
∂Y
∂x
f estdérivable en tout point et :
f
(z) =
∂X
∂x
+ i
∂Y
∂x
= e
x
(cos y + i sin y) = e
x+iy
.
Ainsi, la relation (e
z
)
= e
z
est encore valable pour la fonction de la
variable complexe.
• f (z) = Re (z) X (x, y) = xY ( x , y ) = 0: fn’est dérivable en
aucun point.
• f (z) = |z| X (x, y) =
x 2 + y 2 Y (x, y) = 0: X et Y sont de
classe C
1
sur R
2
\{(0, 0)} , mais les conditions de Cauchy ne sont
satisfaites en aucun point, donc f n’estpas dérivable.
• f (z) = cos zX ( x , y ) = cos x ch yY ( x , y ) = − sin x sh y
∂X
∂x
= − sin x ch y =
∂Y
∂y
∂X
∂y
= cos x sh y = −
∂Y
∂x
f estdérivable en tout point et :
f
(z) =
∂X
∂x
+ i
∂Y
∂x
= − sin x ch y − i cos x sh y
f
(z) = −
e
ix
−e
−ix
2i
·
e
y
+e
− y
2
−i
e
ix
+e
− ix
2
·
e
y
−e
−y
2
f
(z) = −
1
2i
e
ix−y
− e
−ix+y
= −
e
i (x+iy)
− e
−i (x+iy)
2i
= − sin z
Ainsi, la relation (cos z)
= − sin z est encore valable pour la fonction de
la variable complexe.
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