Fonctions de deux variables réelles
Exercice résolu
DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE LA VARIABLE COMPLEXE
Soitf unefonction de C dans C de la forme :
x + iy → X (x, y)+iY(x,y)
où Xe tY sont deux fonctions de R
2
dans R supposées de classe C
1
. On dit que fe st dérivable en un point z 0 ∈ C ,
si le quotient
f (z 0 + h) − f (z 0 )
h
admet unelimite quand ht end vers 0dans C
∗
. Montrerque fe st dérivable en z 0
si et seulement si :
∂X
∂x
(z 0 ) =
∂Y
∂y
(z 0 ) et
∂X
∂y
(z 0 ) = −
∂Y
∂x
(z 0 ) (conditions de Cauchy)
Montrer que, dans ce cas, la différentielledef en z 0 estune similitude directe.
Les fonctions suivantes de C dans C sont-ellesdérivables ?
z
→ zz → e
z
z → Re (z)
z → |z|
z → cos z =
e
iz
+e
−iz
2
Conseils
Solution
Posons z 0 = x 0 + iy 0 et h = h 1 + ih 2 .
f(z 0 +h)−f(z 0 )=f(x 0 +h 1 ,y 0 +h 2 )−f(x 0 ,y 0 )
=
X(x 0 +h 1 ,y 0 +h 2 )−X(x 0 ,y 0 )
+i
Y(x 0 +h 1 ,y 0 +h 2 )−Y(x 0 ,y 0 )
Écrire les développements limités d’ordre
1des fonctions réelles X et Y .
Les fonctions X et Y étant de classe C
1
, on peut écrire un développement limité d’ordre1:
f(z 0 +h)−f(z 0 )=
∂X
∂x
+i
∂Y
∂x
h 1 +
∂X
∂y
+i
∂Y
∂y
h 2 +o(h)
Distinguer clairement les deux implications.
Si
f (z 0 + h) − f (z 0 )
h
admet une limite l ∈ C quand h tend vers
0, on doit avoir:
f(z 0 +h)−f(z 0 )=lh+o(h)=lh 1 +ilh 2 +o(h)
En identifiant ces deux D.L., on obtient :
∂X
∂x
+ i
∂Y
∂x
= l et
∂X
∂y
+ i
∂Y
∂y
= il
On en déduit les conditions de Cauchy.
504