Fonctions de deux variables réelles
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une partiede R
2
est ouverte,onpeut:
montrer que chacun de ses points estlecentre d’une boule ouverte contenue dans cette partie.
Pour montrerqu’une fonction de deux variables estdiscontinue en un point,
il suffit de montrer qu’elle admet deux limites différentes sur deux chemins conduisant àcepoint (cf. exercice 5).
Pour montrer qu’une fonction de deux variables est continue en un point (a, b) ,onpeut:
• montrer que c’est une composée de fonctions continues ;
• majorer | f (x, y) − f (a, b)| par k (x, y) − (a, b)
(cf. exercice 5).
Pour montrer qu’une fonction de deux variables est de classe C
1
sur une partie U de R
2
,
on montre qu’elleadmet des dérivées partielles continues en tout point de U( cf. exercice 8).
Pourcalculer les dérivées partiellesd’une composée de fonctions de classe C
1
,
on multiplieles matrices jacobiennes de ces fonctions (cf. exercice 11 à 13).
Pour déterminer les extrema d’une fonction de classe C
1
de R
2
dans R :
• on cherche les points où le gradient de cettef onction s’annule (c’est-à-dire que les deux dérivées partielles
s’annulent);
• on étudie chacun de ces points pour voir s’il s’agit bien d’un extremum
(cf. exercice 14).
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Pour montrerqu’une partiede R
2
est ouverte,onpeut:
montrer que chacun de ses points estlecentre d’une boule ouverte contenue dans cette partie.
Pour montrerqu’une fonction de deux variables estdiscontinue en un point,
il suffit de montrer qu’elle admet deux limites différentes sur deux chemins conduisant àcepoint (cf. exercice 5).
Pour montrer qu’une fonction de deux variables est continue en un point (a, b) ,onpeut:
• montrer que c’est une composée de fonctions continues ;
• majorer | f (x, y) − f (a, b)| par k (x, y) − (a, b)
(cf. exercice 5).
Pour montrer qu’une fonction de deux variables est de classe C
1
sur une partie U de R
2
,
on montre qu’elleadmet des dérivées partielles continues en tout point de U( cf. exercice 8).
Pourcalculer les dérivées partiellesd’une composée de fonctions de classe C
1
,
on multiplieles matrices jacobiennes de ces fonctions (cf. exercice 11 à 13).
Pour déterminer les extrema d’une fonction de classe C
1
de R
2
dans R :
• on cherche les points où le gradient de cettef onction s’annule (c’est-à-dire que les deux dérivées partielles
s’annulent);
• on étudie chacun de ces points pour voir s’il s’agit bien d’un extremum
(cf. exercice 14).
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