COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
Les applicationsl inéaires D 1 et D 2 de C
2
(U , R)d ans C
1
(U , R)
commutent :
Théorème 7(Théorème de Schwarz)
Si f est une fonction de R
2
dans R, de classe C
2
sur un ouvert U , en tout
point de U :
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
2
f
∂y∂x
IMPORTANT
L’hypothèse « f de classe C
2 »e st
suffisante, mais non nécessaire :seule
la continuitéd es dérivées secondes
croisées intervient.
La démonstration de ce théorème n’est pas au programme.
Contre-exemple,lorsque les dérivées secondes ne sont pas continues :
Soit f la fonction définiepar :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
si (x, y)
= (0, 0) f (x, y) =
xy(x
2
− y
2
)
x 2 + y 2
f (0, 0) = 0
Si y
= 0, lim
x→0
f (x, y) − f (0, y)
x
= lim
x→0
y(x
2
− y
2
)
x 2 + y 2 = −y ;d onc
∂f
∂x
(0, y) = −y ;
lim
x→0
f (x, 0) − f (0, 0)
x
= 0; donc
∂f
∂x
(0, 0) = 0
D’où:
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) = lim
y→0
∂f
∂x
(0, y) −
∂f
∂x
(0, 0)
y
= −1
Si x
= 0, lim
y→0
f (x, y) − f (x, 0)
y
= lim
y→0
x(x
2
− y
2
)
x 2 + y 2 = x ;d onc
∂f
∂y
(x, 0) = x ;
lim
y→0
f (0, y) − f (0, 0)
y
= 0; donc
∂f
∂y
(0, 0) = 0
D’où:
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) = lim
x→0
∂f
∂y
(x, 0) −
∂f
∂y
(0, 0)
x
= 1
Ainsi,
∂
2
f
∂y∂x
et
∂
2
f
∂x∂y
ne prennent pas la même valeur en (0, 0) ;c es deux
fonctionsnesont pas continues en ce point, comme on peut le vérifier par ailleurs.
Plus généralement, une fonction de R
2
dans R estditedeclasse C
k
si toutesses
dérivées d’ordre k sontcontinues. L’ensemble des fonctions de classe C
k
sur U
estunR-espace vectoriel, noté C
k
(U , R). Sur cet espace vectoriel, k opérateurs
de dérivation successifs commutent.
Pour s’entraîner :ex. 15 à17
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