Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
Réciproquement, si les deux dérivées partielles s’annulent en a 0 :
Les applications partielles n’admettent pasnécessairement d’extremum local.
Les deux applications partielles peuvent admettre l’une un maximum local, l’autre un minimuml ocal. Globalement, f n’admet pas d’extremum local (Doc. 7).
Quand bien même les applications partielles admettraient toutes deux un
maximumlocal, rien ne dit qu’il en soit de même pour f ...
x
y
O
Doc. 7 Col.
Danslapratique, on cherchera les points où le gradient s’annule, puis on déterminera pour chacun d’eux s’il s’agit bien d’un extremum local.
Exemple : Cherchons les extrema locaux de la fonction définie par :
f (x, y) = x
4
− 2x
2
y
2
+2y
2
∂f
∂x
=4x(x
2
−y
2
)
∂f
∂y
=4y(1 − x
2
)
Le gradient de f s’annule en cinqpoints :
(0, 0) (1, 1) (1, −1) (−1, 1) (−1, −1)
Au voisinagedupoint (0, 0) : x ∈ ] − 1, 1[ ⇒ f (x, y) = x
4
+2y
2
(1 − x
2
) 0 .
f présente doncunminimum local en (0, 0).
Au voisinage de (1, 1), f (1, 1) = 1, or :
f (x, 1) − 1 = x
4
− 2x
2
+1=(x
2
−1)
2
0
tandis que f (x, x) − 1 = −x
4
+2x
2
−1=−(x
2
−1)
2
0 .
f ne présente donc pas d’extremum local en (1, 1). Par symétrie, il en est de
même pour les trois autres points.
Pour s’entraîner :ex. 14
6 Dérivées partielles d’ordre supérieur
Soit f une fonction de R
2
dans R admettants ur un ouvert U desd érivées
partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
. Ces deux fonctions peuvente lles-mêmes admettre des
dérivées partielles :
D
2
1 f =
∂
2
f
∂x 2 =
∂
∂x
∂f
∂x
D 2 D 1 f =
∂
2
f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
D 1 D 2 f =
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
D
2
2 f =
∂
2
f
∂y 2 =
∂
∂y
∂f
∂y
f est dite de classe C
2
sur U si ces quatre dérivées secondes sont continues sur
U .
L’ensemble des fonctions de classe C
2
de U dans R est un R-espace
vectoriel, noté C
2
(U , R).
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
501