COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
Soit f une fonction de R
2
dans R de classe C
1
surunouvert U . On peut exprimer f (x, y)àl’aide
des coordonnéespolaires (ρ, θ):
∀(x,y)∈Uf ( x , y ) = F ( ρ , θ )
c’est-à-dire F = f ◦ ϕ,
d’où :
∂F
∂ρ
∂F
∂θ
=
∂f
∂x
∂f
∂y
⎛
⎝
cos θ −ρ sin θ
sin θρ cos θ
⎞
⎠
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂F
∂ρ
=
∂f
∂x
cos θ +
∂f
∂y
sin θ
∂F
∂θ
= −
∂f
∂x
ρ sin θ +
∂f
∂y
ρ cos θ
Notons que Det J = ρ ; J est inversible si et
seulementsi ρ =0,et, dans ce cas :
J
−1
=
1
ρ
⎛
⎝
ρ cos θρ sin θ
− sin θ cos θ
⎞
⎠
=
⎛
⎜
⎝
cos θ
sin θ
−
sin θ
ρ
cos θ
ρ
⎞
⎟
⎠
J
−1
estl am atrice jacobienne de l’application de
R
2
\{(0, 0)} dans R
∗
+ ×] − π, π]q ui à( x , y )f ait correspondre (ρ, θ).
C’est-à-dire : J
−1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ρ
∂x
∂ρ
∂y
∂θ
∂x
∂θ
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
On peutdonc inverser les formules précédentes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂f
∂x
=
∂F
∂ρ
cos θ −
∂F
∂θ
sin θ
ρ
∂f
∂y
=
∂F
∂ρ
sin θ +
∂F
∂θ
cos θ
ρ
On remarque que :
∂x
∂ρ
= cos θ et
∂ρ
∂x
= cos θ .
Les dérivées partielles, malgré les apparences, ne sont pas
des quotients !
Pour s’entraîner:ex. 12
5 Extremum local
Soit f unef onction de R
2
dans R définies ur un ouvert U . On dit que f
présente un maximumlocal en a 0 ∈ U s’il existe un ouvert V inclus dans U
et contenant a 0 telq ue ∀x ∈ Vf ( x ) f ( a 0 ) .On peut définir de même un
minimumlocal et on appelle extremum local un pointqui est soit un maximum
local soit un minimum local.
Théorème 6
Si une fonction de classe C
1
de R
2
dans R présente un extremum localen
a 0 , son gradient s’annule en a 0 (c’est-à-direq ue ses deux dérivées partielles
s’annulent en ce point).Laréciproque est fausse :legradient peut s’annuler en
un point sans qu’il s’agisse d’un extremum local.
Démonstration
Posons a 0 = (x 0 , y 0 ). Si f présente un extremum localen a 0 , les deux applications partielles présentent un extremum local respectivement en x 0 et y 0 . Leurs
dérivées s’annulent donc en ce point.
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