Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
Exemples
Choisissons( p , q , r )=(1, 2, 1) ; ϕ est unefonction vectorielle de la variable
réelle : ϕ(t) = (x(t), y(t)), de classe C
1
sur un intervalle I et àvaleurs dans un
ouvert U de R
2
, et f une fonctiond ec lasse C
1
sur U àv aleurs dans R.
La fonction F = f ◦ ϕ est une fonction de R dans R de classe C
1
sur I :
∀t ∈ IF ( t ) = f ◦ ϕ ( t ) = f
x ( t ) , y ( t )
grad f
30
O
28
O
26
O
24
O
22
O
20
O
() t
ϕ
Doc. 6 La dérivée de la température
au coursduvoyage estleproduit scalaire
du gradient du champ de température
par le vecteur vitesse du mobile.
On obtientladérivée de F en multipliant les matrices jacobiennes de f et ϕ :
F
(t) =
∂f
∂x
∂f
∂y
⎛
⎝
x
(t)
y
(t)
⎞
⎠ =
∂f
∂x
x
(t)+
∂f
∂y
y
(t)
(Il estsous-entendu que
∂f
∂x
et
∂f
∂y
sont évaluées au point (x(t), y(t)).)
C’est-à-dire:
F
(t)=
−−→
Grad f ϕ(t) |
− →
ϕ
( t )
( Doc. 6).
Choisissons (p, q, r) = (2, 2, 1) ; ϕ est une fonction de R
2
dans R
2
:
ϕ(x, y) =
u(x, y), v(x, y)
,declasse C
1
sur un ouvert V de R
2
àvaleurs dans
un ouvert U de R
2
et f une fonction de R
2
dans R de classe C
1
sur U .
La fonction F = f ◦ ϕ est une fonction de R
2
dans R de classe C
1
sur V :
∀(x, y) ∈ VF ( x , y ) = f
u ( x , y ) , v ( x , y )
IMPORTANT
Poura lléger les notations, on omet
d’écrire en quel point sont évaluées les
dérivées partielles. On pourra compléter en précisant s’il s’agit de (x, y)o u
de (u(x, y), v(x, y)). Parailleurs, pour
rendre les formules plus lisibles, les dérivées partielles de f sont notées ici
∂f
∂u
et
∂f
∂v
.
Écrivons la matrice jacobiennede F :
∂ F
∂ x
∂ F
∂ y
=
∂ f
∂ u
∂ f
∂ v
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ u
∂ x
∂ u
∂ y
∂ v
∂ x
∂ v
∂ y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
C’est-à-dire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂F
∂x
=
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
∂F
∂y
=
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
Pour s’entraîner:ex. 11
APPLICATION 1
Coordonnéespolaires
Soit ϕ l’applicationde R
2
dans R
2
qui àuncouple
de coordonnées polaires (ρ, θ)d ’un point du plan fait
correspondre le coupledeses coordonnées cartésiennes
(x, y):
x=ρ cos θ
y = ρ sin θ
La fonction ϕ est de classe C
1
en tout point (ρ, θ)
de R
2
. Sa matrice jacobienne est :
J =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂x
∂ρ
∂x
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂θ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎝
cos θ −ρ sin θ
sin θρ cos θ
⎞
⎠
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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