COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
4.3 • Généralisation
On peut généraliser le théorème précédent au casdes fonctions de classe C
1
de
R
p
dans R
n
, en l’appliquantàchacune desfonctions coordonnées.
Soit, par exemple, f une fonctionde R
3
dans R
2
, de classe C
1
sur un ouvert
U de R
3
. Posons :
f (x, y, z) =
X (x, y, z), Y (x, y, z)
où X et Y sont deux fonctions de classe C
1
de U dans R.
Pour tout a 0 ∈ U et tout vecteur h = (h 1 , h 2 , h 3 ) ∈ R
3
, on peut écrire :
f (a 0 + h) = f (a 0 )+D h f(a 0 )+o( h)
où :
D h f (a 0 ) =
h 1 D 1 X (a 0 )+h 2 D 2 X(a 0 )+h 3 D 3 X(a 0 )
h 1 D 1 Y(a 0 )+h 2 D 2 Y(a 0 )+h 3 D 3 Y(a 0 )
L’application d f : h
→ D h f (a 0 )e st une application linéaire de R
3
dans R
2
,
appelée différentielle de f en a 0 et représentée dans les bases canoniques parla
matrice :
J =
⎛
⎝
D 1 X (a 0 ) D 2 X (a 0 ) D 3 X (a 0 )
D 1 Y (a 0 ) D 2 Y (a 0 ) D 3 Y (a 0 )
⎞
⎠ ou
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
∂X
∂x
∂X
∂y
∂X
∂z
∂Y
∂x
∂Y
∂y
∂Y
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
a0
appelée matricejacobienne de f en a 0 .
Pour s’entraîner :ex. 9et10
4.4• Différentielle d’une fonction composée
Théorème 5
Soit ϕ une fonction de classe C
1
de R
p
dans R
q
et f une fonctiondeclasse
C
1
de R
q
dans R
r
. f ◦ ϕ est de classe C
1
et sa différentielle en un point a 0
est :
d(f ◦ϕ ) a0 = df ϕ(a0) ◦ dϕ a0
La matrice jacobienne de f ◦ ϕ est donc le produit des matrices jacobiennes de
f et de ϕ.
Démonstration
Effectuons le développement limité de ϕ àl’ordre 1en a 0 , puis celui de f en
ϕ(a 0 ):
f◦ϕ(a 0 + h)=f
ϕ (a 0 + h)
=f
ϕ (a 0 )+dϕ a 0 ( h)+o( h)
=f ◦ϕ(a 0 )+df ϕ ( a 0 )
dϕ a 0 ( h)+o( h)
+o( h)
=f ◦ϕ(a 0 )+d ϕ ( a 0 ) ◦dϕ a 0 ( h)+o( h)
On obtient bien un développement limité àl’ordre 1de f ◦ϕ en a 0 .
498