Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
Théorème 4
Soit f unefonction de classe C
1
sur un ouvert U de R
2
.
f admete nt outp oint a 0 de U une dérivée suivant tout vecteur
h = (h 1 , h 2 ),et :
D h f (a 0 ) = h 1 D 1 f (a 0 )+h 2 D 2 f(a 0 )
De plus, f admet un développement limité àl’ordre 1auvoisinage de a 0 :
f (a 0 + t h) = f (a 0 )+tD h f(a 0 )+o(t)
Démonstration
Effectuons un développement limité àl’ordre 1dechacune des applications partiellesassociées à f en a 0 :
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) = f (x 0 + th 1 , y 0 )+th 2 D 2 f (x 0 + th 1 , y 0 )+o(th 2 )
= f (x 0 , y 0 )+th 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+o(th 1 )
+th 2 D 2 f (x 0 + th 1 , y 0 )+o(th 2 )
Or D 2 f est continue au point (x 0 , y 0 ):
D 2 f(x 0 +th 1 , y 0 ) = D 2 f (x 0 , y 0 )+o(1)
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) = f (x 0 , y 0 )+th 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+th 2 D 2 f (x 0 , y 0 )+o(t)
D’où :
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) − f (x 0 , y 0 )
t
= h 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+h 2 D 2 f(x 0 ,y 0 )+o(1)
(quand t tend vers 0)
f admetbien une dérivée suivant le vecteur h, qui vaut h 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+h 2 D 2 f (x 0 , y 0 ).
On obtient bien le développement limité attendu quand t tend vers 0.
L’application h
→ D h f (a 0 )e st une forme linéaire sur R
2
, représentée
dans la base canonique par la matrice J =
D 1 f (a 0 ), D 2 f (a 0 )
. On l’appelle
différentielle de f .
IMPORTANT
Cettef ormule estu tilisée par les
physiciens en interprétant d x et
d y comme des accroissements «infinitésimaux »d e x et y, et d f
comme l’accroissement correspondant de f (x, y).
On la note parfoisd f et si on choisit de noter (d x, d y)l abase duale de la base
canonique de R
2
, on peut écrire :
(aupoint a 0 )d f = D 1 f d x + D 2 f d you d f =
∂f
∂x
d x +
∂f
∂y
d y
On peut aussi interpréter D h f (a 0 )c omme le produit scalaire de h avec le vecteur
D 1 f (a 0 ), D 2 f (a 0 )
, appelé gradient de f en a 0 et noté
−−→
Grad f (a 0 ) .
D h f (a 0 ) = (
−−→
Grad f (a 0 ) | h)
Pour s’entraîner:ex. 8
grad f
x
y
O
z
Doc. 5 Gradient et lignes de niveau.
Notons que la dérivéede f suivant un vecteur orthogonal au gradient est nulle.
C’est la direction de la tangente àlaligne de niveau de f passantpar a 0 .
En tout point, le gradientest normal aux lignes de niveau (Doc. 5).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Théorème 4
Soit f unefonction de classe C
1
sur un ouvert U de R
2
.
f admete nt outp oint a 0 de U une dérivée suivant tout vecteur
h = (h 1 , h 2 ),et :
D h f (a 0 ) = h 1 D 1 f (a 0 )+h 2 D 2 f(a 0 )
De plus, f admet un développement limité àl’ordre 1auvoisinage de a 0 :
f (a 0 + t h) = f (a 0 )+tD h f(a 0 )+o(t)
Démonstration
Effectuons un développement limité àl’ordre 1dechacune des applications partiellesassociées à f en a 0 :
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) = f (x 0 + th 1 , y 0 )+th 2 D 2 f (x 0 + th 1 , y 0 )+o(th 2 )
= f (x 0 , y 0 )+th 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+o(th 1 )
+th 2 D 2 f (x 0 + th 1 , y 0 )+o(th 2 )
Or D 2 f est continue au point (x 0 , y 0 ):
D 2 f(x 0 +th 1 , y 0 ) = D 2 f (x 0 , y 0 )+o(1)
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) = f (x 0 , y 0 )+th 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+th 2 D 2 f (x 0 , y 0 )+o(t)
D’où :
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) − f (x 0 , y 0 )
t
= h 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+h 2 D 2 f(x 0 ,y 0 )+o(1)
(quand t tend vers 0)
f admetbien une dérivée suivant le vecteur h, qui vaut h 1 D 1 f (x 0 , y 0 )+h 2 D 2 f (x 0 , y 0 ).
On obtient bien le développement limité attendu quand t tend vers 0.
L’application h
→ D h f (a 0 )e st une forme linéaire sur R
2
, représentée
dans la base canonique par la matrice J =
D 1 f (a 0 ), D 2 f (a 0 )
. On l’appelle
différentielle de f .
IMPORTANT
Cettef ormule estu tilisée par les
physiciens en interprétant d x et
d y comme des accroissements «infinitésimaux »d e x et y, et d f
comme l’accroissement correspondant de f (x, y).
On la note parfoisd f et si on choisit de noter (d x, d y)l abase duale de la base
canonique de R
2
, on peut écrire :
(aupoint a 0 )d f = D 1 f d x + D 2 f d you d f =
∂f
∂x
d x +
∂f
∂y
d y
On peut aussi interpréter D h f (a 0 )c omme le produit scalaire de h avec le vecteur
D 1 f (a 0 ), D 2 f (a 0 )
, appelé gradient de f en a 0 et noté
−−→
Grad f (a 0 ) .
D h f (a 0 ) = (
−−→
Grad f (a 0 ) | h)
Pour s’entraîner:ex. 8
grad f
x
y
O
z
Doc. 5 Gradient et lignes de niveau.
Notons que la dérivéede f suivant un vecteur orthogonal au gradient est nulle.
C’est la direction de la tangente àlaligne de niveau de f passantpar a 0 .
En tout point, le gradientest normal aux lignes de niveau (Doc. 5).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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