COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
4 Calcul différentiel
4.1 • Dérivéesuivant un vecteur ;dérivées partielles
Soit f une fonction de R
2
dans R définiesur un ouvert U de R
2
.
Soit a 0 = (x 0 , y 0 )u npoint de U et h un vecteur non nul de R
2
. U étant
ouvert,ilexiste δ > 0t el que pour tout t ∈ ] − δ, δ[ , a 0 + t h ∈ U (Doc. 4).
z
y
x
O
U
h
a 0
a 0 + th
.
Doc. 4 Dérivée suivant un vecteur.
On pose alors ϕ h (t) = f (a 0 + t h). Si ϕ h est dérivable en 0, on ditque f admet
une dérivée suivantlevecteur h et l’on pose :
D h f (a 0 ) = ϕ
h
(0) = lim
t→0
f (a 0 + t h) − f (a 0 )
t
si h = (h 1 , h 2 )
D h f (x 0 , y 0 ) = lim
t→0
f (x 0 + th 1 , y 0 + th 2 ) − f (x 0 , y 0 )
t
En particulier, les dérivées suivant les vecteurs (1, 0) et (0, 1), si elles existent,
sont appelées première et deuxième dérivéep artielle (ces ont les dérivées des
applications partielles en a 0 ).
La fonction de dérivation de la TI-92/Voyage 200 calcule
tout naturellement des dérivées partielles.
Ellessont notées : D 1 f (a 0 ), D 2 f (a 0 )ou
∂ f
∂ x
(a 0 ),
∂ f
∂ y
(a 0 ).
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )=lim
t→0
f (x 0 + t, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
t
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = lim
t→0
f (x 0 , y 0 + t) − f (x 0 , y 0 )
t
! Lesdérivées partielles ne caractérisent pas complètement la
fonction au voisinaged e a 0 . L’existence de dérivées partielles
en un pointn’implique même pas la continuité en ce point(cf.
l’exemple du §3.2).
Pours’entraîner :ex. 7
4.2 • Fonction de classe C
1
Unefonction f de R
2
dans R définie sur un ouvert U est dite de classe C
1
sur U si elle admetdes dérivées partielles continues sur U .
L’ensemble des fonctions de classe C
1
de U dans R est un R-espace
vectoriel, noté C
1
(U , R).
L’existence de dérivées partielles continues permet de «linéariser »lafonction au
voisinaged’un point :
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