Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
On montre facilement que:
• La somme de deux fonctions continues est continue.
• Le produit d’une fonction continue par un réel est continu.
L’ensemble des fonctions de R
2
dans R
2
continues sur U estunR-espace
vectoriel, noté C
0
(U , R
2
)
On montrerait de même qu’une fonction f de R
2
dans R
2
admet une limite ( 1 ,, 2 )e nunpoint si et seulement si ses fonctions composantes admettent
respectivement 1 et 2 pour limite en ce point.
3.5 • Fonctionscomposées
Théorème 3
p, n, q sont trois entiers compris entre 1et2.Soit f une fonction définie sur un
ouvert U de R
p
àvaleurs dans R
n
, et g une fonction définie sur un ouvert
V de R
n
contenant f (U ), àv aleurs dans R
q
. Si f et g sont continues,
alors g ◦ f est continue.
Démonstration
Soit a 0 ∈ U ;c omme g estc ontinue en f (a 0 ), pour tout ε > 0i le xiste
α > 0t el que :
∀v ∈ V v − f (a 0 ) α =⇒⇒g ( v ) − g ( f( a 0 )) ε
Comme f est continueen a 0 , il existe β > 0t el que :
∀u ∈ U u − a 0 β =⇒⇒f( u ) − f( a 0 ) α
En combinant ces deux implications avec v = f (u), on obtient que pour tout
ε > 0, il existe β > 0t el que :
∀u ∈ U u − a 0 β =⇒⇒g ◦ f( u ) − g ◦ f( a 0 ) ε
ce qui exprime que g ◦ f est continue en a 0 .
Exemple : Soit f unefonction définie sur un ouvert U de R
2
, continue en a 0 ,
et h un vecteur de R
2
. Considéronsl af onction ϕ h définie au voisinage de 0
par : ϕ h (t) = f (a 0 + t h). ϕ h estcontinueen0comme composéedelafonction
affine t → a 0 + t h et de f . Ceci généralise la continuité des fonctions partielles:
f est continue «dans toutes les directions »en0.
Cependant, il faut se garder de croire que la continuité de toutes les fonctions ϕ h
suffit àétablir la continuité de f , comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit f la fonction définie sur R
2
par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
f (x, y) =
x
2
y
si y
= 0
f (x, 0) = 0
En a 0 = (0, 0), pour h = (h 1 , h 2 ), ϕ h (t) = t
h
2
1
h 2
si h 2
= 0, et ϕ h (t) = 0
si h 2 = 0. Dansl es deux cas, lim
t→0
ϕ h (t) = 0: la fonction ϕ h est continuee n
0pour tout h. Cependant,lafonction f n’est pas continue en 0puisque pour
tout t ∈ R
∗
: f (t, t
2
) = 1.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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On montre facilement que:
• La somme de deux fonctions continues est continue.
• Le produit d’une fonction continue par un réel est continu.
L’ensemble des fonctions de R
2
dans R
2
continues sur U estunR-espace
vectoriel, noté C
0
(U , R
2
)
On montrerait de même qu’une fonction f de R
2
dans R
2
admet une limite ( 1 ,, 2 )e nunpoint si et seulement si ses fonctions composantes admettent
respectivement 1 et 2 pour limite en ce point.
3.5 • Fonctionscomposées
Théorème 3
p, n, q sont trois entiers compris entre 1et2.Soit f une fonction définie sur un
ouvert U de R
p
àvaleurs dans R
n
, et g une fonction définie sur un ouvert
V de R
n
contenant f (U ), àv aleurs dans R
q
. Si f et g sont continues,
alors g ◦ f est continue.
Démonstration
Soit a 0 ∈ U ;c omme g estc ontinue en f (a 0 ), pour tout ε > 0i le xiste
α > 0t el que :
∀v ∈ V v − f (a 0 ) α =⇒⇒g ( v ) − g ( f( a 0 )) ε
Comme f est continueen a 0 , il existe β > 0t el que :
∀u ∈ U u − a 0 β =⇒⇒f( u ) − f( a 0 ) α
En combinant ces deux implications avec v = f (u), on obtient que pour tout
ε > 0, il existe β > 0t el que :
∀u ∈ U u − a 0 β =⇒⇒g ◦ f( u ) − g ◦ f( a 0 ) ε
ce qui exprime que g ◦ f est continue en a 0 .
Exemple : Soit f unefonction définie sur un ouvert U de R
2
, continue en a 0 ,
et h un vecteur de R
2
. Considéronsl af onction ϕ h définie au voisinage de 0
par : ϕ h (t) = f (a 0 + t h). ϕ h estcontinueen0comme composéedelafonction
affine t → a 0 + t h et de f . Ceci généralise la continuité des fonctions partielles:
f est continue «dans toutes les directions »en0.
Cependant, il faut se garder de croire que la continuité de toutes les fonctions ϕ h
suffit àétablir la continuité de f , comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit f la fonction définie sur R
2
par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
f (x, y) =
x
2
y
si y
= 0
f (x, 0) = 0
En a 0 = (0, 0), pour h = (h 1 , h 2 ), ϕ h (t) = t
h
2
1
h 2
si h 2
= 0, et ϕ h (t) = 0
si h 2 = 0. Dansl es deux cas, lim
t→0
ϕ h (t) = 0: la fonction ϕ h est continuee n
0pour tout h. Cependant,lafonction f n’est pas continue en 0puisque pour
tout t ∈ R
∗
: f (t, t
2
) = 1.
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