COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
la fonction f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 , si on fait tendre d’abord x vers 0àyconstant,
puis y vers 0( ou vice versa), f (x, y)t end vers 0. Pourtant f n’admetp as
pour limite 0e n( 0 , 0) puisque la fonction f obtenue en prolongeant f par
la valeur 0en( 0 , 0) n’est pas continue.
Pour s’entraîner :ex. 6
3.4 • Extension aux fonctions de R
2
dans R
2
Soit U unepartie ouverte de R
2
et f une fonction définie sur U et àvaleurs
dans R
2
:
U
→
f
R
2
(x, y) →
X (x, y), Y (x, y)
Lesfonctions X et Y de U dans R sont appelées fonctionscomposantes de
f .
Soit a 0 un pointdonné de U . f estdite continue en a 0 si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a 0 α =⇒⇒f(u)−f(a 0 )ε
Théorème 2
Une fonction de R
2
dans R
2
est continue en un point si et seulement si ses
deux fonctions composantessont continues en ce point.
Démonstration
f (u) − f (a 0 ) =
X (u) − X (a 0 )
2
+
Y (u) − Y (a 0 )
2
Donc
f (u) − f (a 0 ) ε ⇒| X ( u ) − X ( a 0 ) | ε et |Y (u) − Y (a 0 )| ε
Si f estcontinue, les fonctions X et Y sont continues.
Réciproquement, si les fonctions X et Y sont continues, pour tout ε > 0
∃α 1 > 0 ∀u ∈ U u − a 0 α 1 =⇒| X ( u ) − X ( a 0 ) |ε
∃ α 2 >0 ∀ u∈U u − a 0 α 2 = ⇒| Y ( u ) − Y ( a 0 ) |ε
Alors pour tout u ∈ U :
u−a 0 min(α 1 , α 2 ) =⇒
X (u) − X (a 0 )
2
+
Y (u) − Y (a 0 )
2
ε
√ 2
c’est-à-dire :
f (u) − f (a 0 ) ε
√ 2
f est donc continue en a 0 .
Ainsi, contrairement aux applications partielles, la continuité des fonctions composantes caractérise celle de la fonction f . Le rôle des coordonnées n’est donc pas
du tout le même dans l’ensemble de départ et dans l’ensemble d’arrivée.
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