Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
Théorème 1
Si une fonction f de R
2
dans R est continue en un point a 0 , chacunedes
deux applications partielles estcontinue en ce point.
La réciproque estfausse :lacontinuité des deux applications partielles n’est pas
suffisante pour que f soit continue...
Démonstration
Supposons f continue en a 0 = (x 0 , y 0 ).
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a 0 α =⇒| f( u ) − f( a 0 ) |ε
En particulier, si u = (x, y 0 ),
u − a 0 = |x − x 0 |, donc :
|x − x 0 | α =⇒| f( x , y 0 ) − f( x 0 , y 0 ) |ε
La première application partielle au point (x 0 , y 0 )e st donc continue en x 0 . On
montre de mêmeque la deuxième application partielle est continue en y 0 .
Montrons àl’aide d’un contre-exemple que la réciproque est fausse :
soit f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0. Au point (0, 0),
les deux applications partielless ont constantes nulles, donc tout ce qu’il yad e
plus continues. Cependant, la fonction prend la valeur
1
2
en (α, α)p our tout
α
= 0, c’est-à-dire aussi prèsque l’on veut de (0, 0) : f n’estdonc pas continue
en (0, 0).
On montre facilement que :
• La sommededeux fonctions continues est continue.
• Le produit de deux fonctions continues est continu.
• Le quotient de deux fonctions continues est continu en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.
L’ensemble des fonctions de R
2
dans R continues sur U estunR-espace
vectoriel, notée C
0
(U , R).
Pours’entraîner :ex. 5
3.3 • Limites
On peutétendre aux fonctions de deux variables la notion de limite :soit f une
fonction de R
2
dans R définie sur un ouvert U , et a un point tel que toute
boule ouverte de centre a rencontre U (∀ε > 0 U ∩ B(a, ε)
= ∅).
On dit que f admet une limite quand u tend vers a s’il existe une fonction f
prolongeant f à U ∪{a} et continue en a.
On pose alors = f (a).
lim
a
f =
signifie donc :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a α =⇒| f ( u ) − | ε
Il est très important de remarquer qu’il n’est pas suffisant d’obtenir une limite en
faisant tendre u vers a suivantunchemin particulier. Par exemple, en reprenant
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
493
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Théorème 1
Si une fonction f de R
2
dans R est continue en un point a 0 , chacunedes
deux applications partielles estcontinue en ce point.
La réciproque estfausse :lacontinuité des deux applications partielles n’est pas
suffisante pour que f soit continue...
Démonstration
Supposons f continue en a 0 = (x 0 , y 0 ).
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a 0 α =⇒| f( u ) − f( a 0 ) |ε
En particulier, si u = (x, y 0 ),
u − a 0 = |x − x 0 |, donc :
|x − x 0 | α =⇒| f( x , y 0 ) − f( x 0 , y 0 ) |ε
La première application partielle au point (x 0 , y 0 )e st donc continue en x 0 . On
montre de mêmeque la deuxième application partielle est continue en y 0 .
Montrons àl’aide d’un contre-exemple que la réciproque est fausse :
soit f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0. Au point (0, 0),
les deux applications partielless ont constantes nulles, donc tout ce qu’il yad e
plus continues. Cependant, la fonction prend la valeur
1
2
en (α, α)p our tout
α
= 0, c’est-à-dire aussi prèsque l’on veut de (0, 0) : f n’estdonc pas continue
en (0, 0).
On montre facilement que :
• La sommededeux fonctions continues est continue.
• Le produit de deux fonctions continues est continu.
• Le quotient de deux fonctions continues est continu en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.
L’ensemble des fonctions de R
2
dans R continues sur U estunR-espace
vectoriel, notée C
0
(U , R).
Pours’entraîner :ex. 5
3.3 • Limites
On peutétendre aux fonctions de deux variables la notion de limite :soit f une
fonction de R
2
dans R définie sur un ouvert U , et a un point tel que toute
boule ouverte de centre a rencontre U (∀ε > 0 U ∩ B(a, ε)
= ∅).
On dit que f admet une limite quand u tend vers a s’il existe une fonction f
prolongeant f à U ∪{a} et continue en a.
On pose alors = f (a).
lim
a
f =
signifie donc :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a α =⇒| f ( u ) − | ε
Il est très important de remarquer qu’il n’est pas suffisant d’obtenir une limite en
faisant tendre u vers a suivantunchemin particulier. Par exemple, en reprenant
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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